Funciones Complejas

Sea $S$ un conjunto de números complejos. Una función $f$ definida en $S$ es una regla que asigna a cada $z$ en $S$ un número complejo $w .$ El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$ y se denota por $f (z)$ ; esto es, $w = f (z) .$ El conjunto $S$ se llama el domino de definición de $f .$

Si solo un valor de $w$ corresponde a cada valor de $z,$ decimos que $w$ es una función valor-único de $z$ o que $f (z)$ tiene un único valor. Si más de un valor de $w$ corresponde a cada valor de $z,$ decimos que $w$ es una función multivaluada de $z .$

Una función multivaluada se puede considerar como una colección de funciones de valor-único, donde cada miembro es conocido como una rama de la función. En general, consideramos un elemento particular como una rama principal de la función multivaluada y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal.

Ejemplo 1: La expresión $w = z^{2}$ representa una función de valor-único. Por otra parte, si $w = z^{\frac{1}{2}},$ entonces para cada valor de $z$ existen dos valores de $w .$ Por lo tanto, la función $w = z^{\frac{1}{2}}$ es multivaluada (en este caso con dos valores) de $z .$

Supongamos que $w = u + i v$ es el valor de una función $f$ en $z = x + i y,$ de tal forma que $u + i v = f (x + i y)$ Cada uno de los números reales $u$ y $v$ dependen de las variables reales $x,$ $y .$ En consecuencia $f (z)$ se puede expresar en términos de un de funciones con valores reales $x,$ $y$ $\begin{array}{r} (1) & f (z) = u (x, y) + i v (x, y) . \end{array}$ Si consideramos las coordenadas polares $r$ y $θ,$ en lugar de $x,$ $y .$ Entonces $u + i v = f (r e^{i θ})$ donde $w = u + i v$ y $z = r e^{i θ} .$ En este caso escribimos $\begin{array}{r} (2) & f (z) = u (r, θ) + i v (r, θ) . \end{array}$

Ejemplo 2: Si $f (z) = z^{2}$ entonces $f (x + i y) = (x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + i (2 x y) .$ Por lo tanto $u (x, y) = x^{2} - y^{2} y v (x, y) = 2 x y .$ Cuando usamos coordenadas polares tenemos que $u (r, θ) = r^{2} \cos 2 θ y v (r, θ) = r^{2} sen 2 θ .$

Pregunta: ¿Qué sucede cuando en las ecuaciones definidas en ( $1$ ) y ( $2$ ) la función $v$ es cero?

Ejemplos de funciones complejas

Polinomios

Para constantes complejas $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ definimos $p (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}$ donde $a_{n} \neq 0$ y $n$ es un entero positivo conocido como el grado del polinomio $p (z) .$

Funciones racionales: Razones $\frac{p (z)}{q (z)}$ donde $p (z)$ y $q (z)$ son polinomios y $q (z) \neq 0.$

Función exponencial

Función exponencial: Si $z = x + i y,$ la función exponencial $e^{z}$ se define como $\begin{array}{r} e^{z} = e^{x} e^{i y} . \end{array}$ Esto es porque $\begin{array}{r} e^{i y} = \cos y + i sen y, \end{array}$ entonces tenemos que $\begin{array}{r} e^{z} = e^{x} (\cos y + i sen y) . \end{array}$

Función logaritmo

En forma similar, el logaritmo complejo es una extensión compleja del logaritmo natural con valores reales (i.e., con base $e$ ). En términos de coordenadas polares $z = r e^{i θ},$ el logaritmo complejo tiene la forma $\log z = \log (r e^{i θ}) = \log r + \log e^{i θ} = \log r + i θ .$ Exploraremos en detalle esta función más adelante.

Funciones trigonométricas

El seno y coseno de variable compleja se definen como: $\begin{array}{r} sen z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} y \cos z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} . \end{array}$ Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen a partir del seno y coseno complejos con base en las siguientes relaciones: $\begin{aligned} \tan z & = \frac{sen z}{\cos z} & \cot z & = \frac{\cos z}{sen z} \\ \sec z & = \frac{1}{\cos z} & \csc z & = \frac{1}{sen z} . \end{aligned}$

Funciones trigonométricas hiperbólicas

El seno y coseno hiperbólico de variable compleja se definen de forma similar a su versión de variable real; es decir,

\begin{array}{r} senh z = \frac{e^{z} - e^{- z}}{2} and \cosh z = \frac{e^{z} + e^{- z}}{2} . \end{array}

Las otras cuatro funciones hiperbólicas se definen en términos del seno y coseno hiperbólico complejo con las siguientes relaciones:

\begin{aligned} \tanh z & = \frac{senh z}{\cosh z} & \coth z & = \frac{\cosh z}{senh z} \\ sech z & = \frac{1}{\cosh z} & csch z & = \frac{1}{senh z} . \end{aligned}

Explora las componentes real e imaginaria

Usa el siguiente applet para explorar las componentes real e imaginaria de algunas funciones complejas.

Código

Usa el siguiente script en GeoGebra para explorar. Abre la vista 3D. El símbolo # indica comentarios.

#Define función compleja
f(z) := z + 1/z

#Define componentes
Re = Surface(u, v, real( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)
Im = Surface(u, v, imaginary( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)