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f(z)=z+1/z

Funciones Complejas


Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida en S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w. El número w es llamado el valor de f en z y se denota por f(z); esto es, w=f(z). El conjunto S se llama el domino de definición de f.

Si solo un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función valor-único de z o que f(z) tiene un único valor. Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función multivaluada de z.

Una función multivaluada se puede considerar como una colección de funciones de valor-único, donde cada miembro es conocido como una rama de la función. En general, consideramos un elemento particular como una rama principal de la función multivaluada y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal.

Ejemplo 1: La expresión w=z2 representa una función de valor-único. Por otra parte, si w=z12, entonces para cada valor de z existen dos valores de w. Por lo tanto, la función w=z12 es multivaluada (en este caso con dos valores) de z.

Supongamos que w=u+iv es el valor de una función f en z=x+iy, de tal forma que u+iv=f(x+iy) Cada uno de los números reales u y v dependen de las variables reales x, y. En consecuencia f(z) se puede expresar en términos de un de funciones con valores reales x, y (1)f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Si consideramos las coordenadas polares r y θ, en lugar de x, y. Entonces u+iv=f(reiθ) donde w=u+iv y z=reiθ. En este caso escribimos (2)f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ).

Ejemplo 2: Si f(z)=z2 entonces f(x+iy)=(x+iy)2=x2y2+i(2xy). Por lo tanto u(x,y)=x2y2yv(x,y)=2xy. Cuando usamos coordenadas polares tenemos que u(r,θ)=r2cos2θyv(r,θ)=r2sen 2θ.

Pregunta: ¿Qué sucede cuando en las ecuaciones definidas en (1) y (2) la función v es cero?


Ejemplos de funciones complejas

Polinomios

Para constantes complejas an,an1,,a0 definimos p(z)=anzn+an1zn1++a1z+a0 donde an0 y n es un entero positivo conocido como el grado del polinomio p(z).

Funciones racionales: Razones p(z)q(z) donde p(z) y q(z) son polinomios y q(z)0.

Función exponencial

Función exponencial: Si z=x+iy, la función exponencial ez se define como ez=exeiy. Esto es porque eiy=cosy+isen y, entonces tenemos que ez=ex(cosy+isen y).

Función logaritmo

En forma similar, el logaritmo complejo es una extensión compleja del logaritmo natural con valores reales (i.e., con base e). En términos de coordenadas polares z=reiθ, el logaritmo complejo tiene la forma logz=log(reiθ)=logr+logeiθ=logr+iθ. Exploraremos en detalle esta función más adelante.

Funciones trigonométricas

El seno y coseno de variable compleja se definen como: sen z=eizeiz2iycosz=eiz+eiz2. Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen a partir del seno y coseno complejos con base en las siguientes relaciones: tanz=sen zcoszcotz=coszsen zsecz=1coszcscz=1sen z.

Funciones trigonométricas hiperbólicas

El seno y coseno hiperbólico de variable compleja se definen de forma similar a su versión de variable real; es decir,

senhz=ezez2andcoshz=ez+ez2.
Las otras cuatro funciones hiperbólicas se definen en términos del seno y coseno hiperbólico complejo con las siguientes relaciones:
tanhz=senhzcoshzcothz=coshzsenhzsech z=1coshzcsch z=1senhz.


Explora las componentes real e imaginaria

Usa el siguiente applet para explorar las componentes real e imaginaria de algunas funciones complejas.

Código

Usa el siguiente script en GeoGebra para explorar. Abre la vista 3D. El símbolo # indica comentarios.

#Define función compleja
f(z) := z + 1/z

#Define componentes
Re = Surface(u, v, real( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)
Im = Surface(u, v, imaginary( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)

Límites