Alerón de Joukowsky

El mapeo de Joukowsky

Un ejemplo bien conocido de función conforme es el mapeo de Joukowsky \begin{eqnarray}\label{jouk} w= z+ 1/z. \end{eqnarray} Fue utilizado por primera vez en el estudio del flujo alrededor de las alas de los aviones por el pionero investigador ruso de aero e hidrodinámica Nikolai Zhukovskii (Joukowsky).

Dado que

$$\frac{d}{dz}w=1-\frac{1}{z^2}=0\quad \text{if and only if}\quad z=\pm 1,$$

la función (\ref{jouk}) es conforme excepto en sus puntos críticos $z = \pm 1$ y en su singularidad $z = 0,$ donde la función no está definida.

Si $z = e^{i\theta}$ pertenece al círculo unitario, entonces $$w =e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta,$$ pertenece al eje real, con $-2\leq w\leq 2.$ De esta forma, el mapeo de Joukowsky comprime el círculo unitario al segmento $[-2, 2].$ Las imágenes de los puntos fuera del círculo unitario llenan el resto del plano $w,$ así como las imágenes de los puntos (diferentes de cero) dentro del círculo unitario. En realidad, si resolvemos (\ref{jouk}) para $z,$ tenemos $$z=\frac{1}{2}\left(w\pm \sqrt{w^2-4}\right).$$ Podemos observar que cada $w$ excepto $\pm 2$ proviene de dos puntos diferentes $z$; para $w$ que no está en el segmento $[-2, 2],$ un punto (con el signo menos) se encuentra dentro y el otro (con el signo más) se encuentra fuera del círculo unitario, mientras que si $-2 \lt w \lt 2,$ ambos puntos pertenecen al círculo unitario y a una línea vertical en común.

Por lo tanto, el mapeo de Joukowski define un mapeo conforme uno-a-uno de conjunto $| z | > 1,$ al exterior del círculo unitario, al exterior del segmento $[-2, 2],$ i. e. $\mathbb C \setminus [-2, 2].$

En la Figura 4 podemos observar que los círculo concéntricos $|z|= r > 1$ son mapeados a elipses con focos en $\pm 2$ en el plano $w.$

MapJ — El mapeo de Joukowsky aplicado a $|z|=r \geq 1.$

El efecto sobre los círculos que no están centrados en el origen es más interesante. Las curvas de la imagen adoptan una amplia variedad de formas. Cuando el círculo pasa por el punto singular $z = 1,$ entonces su imagen ya no es suave, sino que tiene una cúspide en $w = 2$ y cuando el círculo pasa por $z = -1,$ la cúspide está en $w = -2.$ Algunas de las curvas de la imagen asumen la forma de la famosa sección transversal a través de un ala o alerón aerodinámico idealizado de un avión, también conocido como el alerón de Joukowsky.

Puedes explorar el mapa de Joukowsky en el applet a continuación. Arrastra el centro del círculo. Usa los controles deslizantes para aplicar el mapeo o cambiar el radio. Haz clic en el botón para ver valores predefinidos.

Flujo alrededor del alerón de Joukowsky

Consideremos ahora el flujo alrededor de un círculo unitario con circulación $C$ y velocidad $U>0$ dado por el potencial complejo \begin{eqnarray}\label{eq1} F(z)=Uz+\frac{U}{z}-\frac{i C}{2\pi}\log z. \end{eqnarray}

Podemos usar la transformación lineal $$T(z)=-0.15+0.23i + 0.23\sqrt{13\cdot 2} z$$ para mapear este flujo alrededor de $|z|=1$ a un flujo alrededor del círculo $c_1$ con centro $z_1=-0.15+0.23i$ y radio $r=0.23\sqrt{13\cdot 2}.$

Finalmente, al aplicar el mapeo de Joukowsky (\ref{jouk}), podemos obtener un flujo uniforme con circulación alrededor el alerón de Joukowsky.

La siguiente simulación muestra el flujo que pasa alrededor de un círculo $c_1$ y su transformación en el alerón de Joukowsky. Mueve los controles deslizantes para explorar:

Deslizador U = velocidad.
Deslizador C = circulación.
Deslizador T = aplica transformación.

Presiona el botón Trace para mostrar las líneas de flujo.