Una Breve Historia

Interpretación geométrica de ecuaciones cuadráticas y cúbicas

Consideremos la ecuación \begin{eqnarray}\label{quad001} x^2 = mx + n. \end{eqnarray} En la escuela elemental hemos aprendido a encontrar sus soluciones, es decir, todos los valores $x$ tales que satisfacen la ecuación (\ref{quad001}). Para hacer esto solo necesitamos usar la bien conocida fórmula cuadrática

\begin{eqnarray}\label{quad002} x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray}

de la ecuación general cuadrática \begin{eqnarray}\label{quad003} ax^2+ bx+c = 0 . \end{eqnarray} Al re-escribir la ecuación (\ref{quad001}) como $x^2-mx-n = 0,$ podemos usar (\ref{quad002}) para obtener

\begin{eqnarray}\label{quad004} x = \frac{ m \pm \sqrt{m^2 + 4n } }{2} = \frac{m}{2} \pm \sqrt{\frac{m^2}{4} + n} \end{eqnarray}

Si graficamos la ecuación (\ref{quad001}) podemos observar geométricamente que esta representa la intersección de la parábola $y=x^2$ con la línea $y = mx+n.$ Esto se puede apreciar mejor en el siguiente applet. Mueve los deslizadores en la vista gráfica inferior y observa qué sucede con los puntos de intersección $x_0$ y $x_1.$

Como ya habrás notado, tenemos tres casos:

Hay dos puntos de intersección, es decir, dos soluciones.
Hay un punto de intersección, es decir, una solución.
No hay puntos de intersección, es decir, no hay soluciones.

Sorprendentemente, esto se conoce desde la antigüedad, incluso sin el uso de símbolos matemáticos o computadoras. Sabemos por tablillas de arcilla que datan de alrededor del 2000 a. C. la civilización de Babilonia poseía la fórmula cuadrática, lo que les permitía (en forma verbal) resolver ecuaciones cuadráticas. Porque el concepto de números negativos tuvo que esperar hasta el siglo XVI, los babilonios no consideraron soluciones negativas [9, pp. 29-30]. También podemos encontrar ecuaciones implícitas en la geometría desarrollada por los antiguos griegos, como era de esperar cuando se investigan círculos, parábolas y objetos geométricos similares, pero no exigimos que cada problema geométrico tenga una solución [9, Cap. 4].

Ahora regresemos a la ecuación cuadrática $x^2= mx+ n.$ Consideremos los valores $m=0$ and $n=-1.$ Si usamos la fórmula (\ref{quad004}), obtenemos $$x = \pm\sqrt{-1}.$$ ¿Qué está sucediendo aquí? La mayoría de nosotros hemos aprendido de los cursos de Cálculo, o en la escuela elemental, que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces, ¿cómo podemos interpretar este valor? Geométricamente hablando, podemos relacionar la solución $x = \pm\sqrt{-1}$ con el hecho de que la parábola $y = x^2$ y la$y=-1$ no se intersecan entre sí, como se aprecia en la Figura 1. En otras palabras, no hay solución. En general, si $\dfrac{m^2}{4} + n \lt 0,$ la ecuación $x^2= mx+ n$ no tiene soluciones.

Se argumenta que esto llevó a la invención de un nuevo número denotado por $i,$ el cual es igual a $\sqrt{-1},$ y se le dio el nombre "imaginario". Si usamos $i$ como un número tal que $i^2 = -1,$ entonces este valor es la solución de la ecuación $x^2=-1.$

También es una práctica común enfatizar en los cursos de matemáticas que los números complejos, denotados como $a + b\sqrt{-1},$ son necesarios para resolver ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas, tales como $x^2+1=0.$ Sin embargo, los números complejos surgieron, en realidad, de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas. Más aún, cuando las ecuaciones cuadráticas y cúbicas aparecieron, en esa época, no había necesidad de calcular las soluciones de todas las ecuaciones.

Entonces ¿cuándo tomaron en realidad relevancia los números complejos? Para responder a esta pregunta, consideremos primero la ecuación cúbica \begin{eqnarray}\label{cubic001} x^3 = p x + q. \end{eqnarray} Geométricamente, esta ecuación representa la intersección entre la cúbica $y = x^3$ con la línea $y = px + q,$ como se muestra en el siguiente applet. Mueve los deslizadores y observa lo que sucede.

Como se puede apreciar, no importa cual línea está definida por los parámetros $p$ y $q,$ siempre intersectará a la cúbica en algún lugar, incluso cuando la línea $px + q$ sea perpendicular al eje $x$ y esté lejos del origen (es decir, cuando $p$ y $q$ son números positivos/negativos muy grandes). Esto se debe al hecho de que la cúbica va desde $-\infty$ a $+\infty.$ Por lo tanto, no hay una línea que se pueda dibujar tal que no cruce a la cúbica. Este ejemplo es muy diferente del caso cuadrático que era una parábola $x^2$ en la cual podemos definir una línea $mx + n$ tal que no se cruce con la parábola.

Solución de ecuaciones cúbicas

Es bien conocido que la solución de la cúbica $x^3 = px + q$ fue desarrollada en el Renacimiento (siglos XV y XVI) por matemáticos italianos. Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Tartaglia (1500-1557), seguidos por Girolamo Cardano (1501-1576), mostraron que $x^3 = px + q$ tiene una solución dada por

\begin{eqnarray}\label{cubic002} x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{27}}} - \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{27}}} \end{eqnarray}

Esto se conoce como la fórmula de Cardano y aquí estamos usando la notación moderna.

Para ver cómo funciona consideremos la ecuación $x^3 = -6 x+ 20.$ En este caso $p=-6$ y $q=20.$ Si sustituimos estos valores en (\ref{cubic002}), obtenemos la solución

$$x = \displaystyle \sqrt[3]{10 + \sqrt{108}} - \sqrt[3]{- 10 + \sqrt{108}}.$$

Al simplificar obtenemos $x=2,$ una solución a la ecuación dada ya que

$$8=(2)^3 = -6(2)+ 20 = -12+20=8.$$

Esto indica que la fórmula parece funcionar bastante bien, al menos en este caso.

Ejercicio: Intenta resolver la ecuación $x^3=6x+6$ usando la fórmula de Cardano.

La génesis de los números imaginarios

Unos años más después del descubrimiento de la fórmula de Cardano, el ingeniero y arquitecto italiano Rafael Bombelli (1526-1572) reconoció que había algo extraño y paradójico acerca de esta fórmula. Él consideró la ecuación \begin{eqnarray}\label{cubic003} x^3= 15 x+ 4 \end{eqnarray} y, con un poco de reflexión, puedes ver que $x = 4$ es una solución. Esto también se puede apreciar en la Figura 4. En realidad hay tres soluciones pero Bombelli no consideró valores negativos, así que tampoco lo haremos nosotros.

Entonces Bombelli usó la fórmula de Cardano para resolver $x^3= 15 x+ 4.$ Así que, considerando $p = 15$ y $q=4,$ obtuvo

\begin{eqnarray}\label{cubic004} x = \displaystyle \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}. \end{eqnarray}

Aquí nos encontramos con un valor inusual. Si la fórmula de Cardano es correcta, este número debe ser igual a 4. Sin embargo, esto debe ser una tontería y el valor no puede ser real, porque dentro de la raíz cúbica estamos tomando la raíz cuadrada de un número negativo, una imposibilidad absoluta en ese momento (y también en la actualidad). Cardano también encontró esta dificultad, pero no la enfrentó. Una vez mencionó números imaginarios, pero en conexión con una ecuación cuadrática y acompañado del comentario de que estos números eran "tan sutiles como inútiles" [2, Ch. 37, Rule II].

Sin embargo, Bombelli superó esta dificultad al ver que la expresión extraña (\ref{cubic004}) que la fórmula de Cardano da para $ x $ es realmente real, pero expresado de una manera muy desconocida. Esta intuición no fue fácil. Así lo describió Bombelli en su libro L'Algebra :

Y aunque a muchos esto les parecerá una extravagancia, porque incluso yo sostuve esta opinión hace algún tiempo, ya que apareció para mí más sofista que verdad, sin embargo busqué arduamente y encontré la demostración, que se indicará a continuación. ... Pero dejo el lector aplique toda su fuerza mental, porque [de lo contrario] incluso él se encontrará engañado. [1, pp. 293-294; 10]

*L'Algebra* por Rafael Bombelli: frontispicio de la edición de Bolonia de 1579.

La gran intuición de Bombelli fue simplemente tratar $\sqrt{-1}$ como un número y operar con él siguiendo reglas aritméticas específicas (el mismo tipo de reglas que usamos hoy en día). De esta manera descubrió que

$$\sqrt[3]{2+ \sqrt{-121}} = 2 + \sqrt{-1} \quad \text{and} \quad \sqrt[3]{2- \sqrt{-121}} = 2 - \sqrt{-1} .$$

Al sustituir estos valores en (\ref{cubic004}) Bombelli obtuvo

$$x = 2 + \sqrt{-1} + 2 - \sqrt{-1}.$$

Luego mostró que las raíces cuadradas de los números negativos se cancelan entre sí [1, p. 169; 7, p. 164]. Esto es

$$x = 2 + \cancel{\sqrt{-1}} + 2 - \cancel{\sqrt{-1}}.$$

Y concluyó que $x = 4$ es en realidad la solución de $x^3=15x+4$ obtenida a partir de la fórmula de Cardano [1, p. 294], ver Figura 6. Este truco funciona solo en unos pocos casos, sin embargo, ayudó a comprender los números imaginarios y calcular sus raíces cúbicas o manipularlos cuando aparecen a un lado de números reales.

Bombelli's solution — La solución original de Bombelli.

\begin{eqnarray*} x^3 &=& 15x + 4\\ [x^3 &=& px + p] \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} (4/2)^2-(15/3)^3 &=& -121\\ [\left(q/2\right)^2 -\left(p/2\right)^3]&=&-121 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x &=& \sqrt[3]{2+ \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2- \sqrt{-121}}\\ x &=& \sqrt[3]{2+ 11\sqrt{-1}} + \sqrt[3]{2- 11\sqrt{-1}} \\ x &=& 2 + \sqrt{-1} + 2 - \sqrt{-1} = 4 \end{eqnarray*}

La solución orignal de Bombeli.

Por supuesto, como puedes apreciar en la Figura 6, Bombelli no tenía a su disposición el poder de la notación algebraica actual (ni tampoco computadoras) y sus cálculos se limitaron a números en el "dominio real". De hecho, la mayoría de los matemáticos italianos en ese momento tendían a pensar en cubos o cuadrados como objetos geométricos en lugar de cantidades algebraicas. Sin embargo, gracias a él se logró observar la realidad de las soluciones de la ecuación cúbica $ x ^ 3 = 15x + 4 ,$ puesto que demostró el hecho extraordinario de que los números reales podrían ser generados por números imaginarios.

La fórmula de Cardano obligó a los matemáticos a confrontar raíces cuadradas de números negativos. Este incidente histórico es otro ejemplo que niega la generalizada vista que las matemáticas están "hechas" por matemáticos. Como suele ser el caso, es la matemática misma la que nos habla. A partir de este momento, los números imaginarios perdieron parte de su carácter místico, aunque su total aceptación como números auténticos llegó solo en el siglo XIX.

Ejercicio: Comprueba que $\sqrt[3]{2 \pm \sqrt{-121}} = 2 \pm \sqrt{-1}.$

La maduración de los números complejos

Muchos matemáticos después de Cardano y Bombelli hicieron importantes contribuciones a los números imaginarios (o complejos). Por ejemplo, René Descartes (1596-1650) acuñó el término "imaginario" en su libro en La Géométrie de 1637 de la siguiente manera:

Ni las raíces verdaderas ni las falsas [negativas] son siempre reales; pero a veces solo imaginarias. [4, p. 380]

John Wallis (1616-1703) mostró como representar geométricamente raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes reales [8, p. 594]. Caspar Wessel (1745-1818) y Jean-Robert Argan (1768-1822) proporcionaron representaciones geométricas de números complejos como vectores [7, pp. 185-190].

Leonard Euler (1707-1783) estandarizó la notación "$ i = \sqrt {-1} $" [ 6 , pág. 184] y usó números imaginarios para resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas, a pesar de que él todavía sospechaba de estos números. En su Álgebra , por ejemplo, mencionó:

[...] ya que todos los números que es posible concebir son mayores o menores que 0, o son 0 en sí mismo, es evidente que no podemos clasificar la raíz cuadrada de un número negativo entre los números posibles, y por lo tanto debemos decir que es una cantidad imposible. De esta manera esto nos conduce a la idea de números, que por su naturaleza son imposibles; y por eso se les suele llamar cantidades imaginarias, porque existen meramente en la imaginación. [5, p. 43]

Para que nadie tome esto como una condena, continuó:

a pesar de esto, estos números se presentan ellos mismos a la mente; existen en nuestra imaginación, y todavía tenemos una idea suficiente de ellos; [...] nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios y emplearlos en el cálculo. [5, p. 43]

Después Carl Friedrich Gauss (1777-1855) introdujo el término "número complejo" refiriéndose a los números de la forma $a+ b \, i $ [7, p. 191]. También dio cuatro demostraciones del teorema fundamental del álgebra en el transcurso de su larga carrera. Este teorema nos dice que cualquier polinomio de $ n $-ésimo grado tiene $ n $ raíces, algunas o todas puede ser imaginarias. La primera prueba que dio Gauss fue en su disertación de doctorado de 1799. La última (y quizás la más elegante) permite el uso de números complejos no solo para la variable sino también para los coeficientes. Dado que esto dependía necesariamente del reconocimiento de números complejos, Gauss ayudó a solidificar la posición de estos números [8, Vol. 2, p. 595].

La primera definición rigurosa de números complejos fue dada por William Rowan Hamilton (1805-1865). En 1833 propuso a la Academia Irlandesa que un número complejo puede considerarse como una pareja $ (a, b) ,$ con $ a, b $ números reales [7, pp. 192-193]. Después definió la adición y multiplicación de parejas como sigue:

$$(a, b)+(c, d) =(a + c, b + d)$$

$$(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad).$$

De hecho, esta es una definición algebraica de números complejos. Desde el punto de vista didáctico y heurístico es preferible introducir números complejos a través de una interpretación geométrica. Pero desde el punto de vista lógico, la teoría de las parejas es mucho más satisfactoria, ya que muestra la consistencia de la teoría de los números complejos a partir de la consistencia de los números reales [3, pág. 175].

Entre los muchos matemáticos y científicos que contribuyeron, hay tres que se destacan por haber influido decisivamente en el curso de desarrollo del análisis complejo [8 , Vol.2, Cap. 27]. El primero es Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), quien desarrolló la teoría del cálculo integral complejo. Mediante el uso de números imaginarios, Cauchy pudo evaluar "integrales reales" que de otro modo no se podían evaluar, obteniendo resultados asombrosos como

$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$$

$$\int_0^{\pi}\log \sin x\,dx =-\pi \log 2.$$

La evaluación de integrales reales, además de la solución de la ecuación cúbica y el teorema fundamental del álgebra, demostró lo valioso que era considerar números imaginarios.

Georg Friedrich Bernhard Riemann — Riemann.

Finalmente, los otros dos matemáticos son Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), quienes aparecieron en escena a mediados del siglo XIX. Weierstrass desarrolló la teoría desde un punto de partida de series de potencia convergente, y este enfoque condujo a desarrollos algebraicos más formales. Riemann, por otra parte, aportó más desde un punto de vista geométrico. Sus ideas tuvieron un tremendo impacto no solo en el análisis complejo sino en las matemáticas en su conjunto, aunque sus opiniones se afianzaron sólo gradualmente.

Comentarios finales

Las descripciones anteriores de números complejos no son el final de la historia. Varios desarrollos en los siglos XIX y XX nos permitieron obtener una visión más profunda del papel de los números complejos no solo en matemáticas, pero también en ingeniería y física. La historia de los números complejos es fascinante y recomiendo encarecidamente al lector consultar las fuentes primarias citadas aquí, las cuales pueden servir como punto de partida para ahondar en los detalles históricos que permitieron el surgimiento y desarrollo de los números complejos.

Referencias

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Cardano, H. (1545). Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus. (n.p.): Joh. Petreius.
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Euler, L. (1972). Elements of Algebra. (Rev. John Hewlett, B.D. F.A.S. &c, Trans.). Springer-Verlag. (Original work published 1770).
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Merzbach, U. C & Boyer, C. B. (2011). A history of mathematics. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. (2000). Rafael Bombelli.

Otras lecturas

Bagni, G. T. (2009). Bombelli's Algebra (1572) and a New Mathematical Object. For the Learning of Mathematics. Vol. 29, No. 2, pp. 29-31.
Buehler, D. (2014). Incomplete understanding of complex numbers Girolamo Cardano: a case study in the acquisition of mathematical concepts. Synthese 191:4231-4252.
Burton, D. M. (1995). The history of mathematics: An introduction (6th ed.) (2005). New York: McGraw-Hill.
Gindikin, S. (2007). Tales of Mathematicians and Physicists. Second English edition Springer Science+ Business Media, LLC.
Nahim, P. J. (1998). An imaginary tale: The story of $\sqrt{-1}$. USA: Princeton University Press.
Huffman, C. J. (2019). Mathematical Treasure: Raphael Bombelli's L'algebra. Convergence.
Marsden, J. E. & Tromba, A. J. (2003). Vector Calculus. USA: W. H. Freeman and Company.
Merino, O. (2006). A Short History of Complex Numbers.
Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History. Springer Science.