Terminología y Notación

Un número complejo $z$ se expresa en la forma $x + iy,$ donde $x,$ $y$ son números reales y el símbolo $i$ representa la unidad imaginaria, esto es, $i^2 = -1.$ En esta expresión, $x$ es la parte real mientras que $y$ es la parte imaginaria del número complejo.

Los números complejos, denotados por $\mathbb C,$ extienden el concepto de la línea recta unidimensional al plano complejo de dos dimensiones (también conocido como el plano Argand) al usar el eje horizontal para representar la parte real y el eje vertical para representar la parte imaginaria. En este caso se puede observar una analogía con vectores en dos dimensiones de forma inmediata. El número complejo $x+iy$ se puede identificar con el punto $(x, y)$ en el plano complejo y además se puede interpretar como un vector de dos dimensiones.

Es útil introducir otra representación de los números complejos en términos de coordenadas polares $(r, \theta)$:

\begin{eqnarray}\label{par} x= r\cos \theta, \quad y=r\sin \theta \quad (r\geq 0) \end{eqnarray}

Por lo tanto el número complejo $z$ se puede escribir alternativamente en forma polar como: \begin{eqnarray}\label{polar} z=x+iy=r(\cos \theta + i \sin \theta). \end{eqnarray}

El radio $r$ se define como $$r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$$ y naturalmente nos da una noción de valor absoluto de $z,$ denotado como $|z|,$ es decir, se trata de la longitud del vector asociado con $z.$ El valor $|z|$ es conocido como el módulo de $z.$ El ángulo $\theta$ se llama argumento (o fase) de $z$ y se denota por $\textbf{arg}(z).$ Cuando $z\neq 0,$ los valores de $\theta$ se pueden encontrar usando las ecuaciones definidas en (\ref{par}) y trigonometría elemental: $$\tan \theta = \frac{y}{x}.$$

En este punto es conveniente introducir una función exponencial especial. La exponencial polar se define como $$\cos \theta +i\,\text{sen } \theta = e^{i\theta}.$$ Por lo tanto la ecuación (\ref{polar}) implica que $z$ se puede escribir en la forma $$z=r e^{i\theta}.$$ Esta función exponencial tiene todas las propiedades estándares que conocemos del cálculo elemental y es un caso especial de la función exponencial compleja.

Finalmente, el conjugado complejo de $z$ se define como $$\overline{z}=x-iy.$$

La adición, resta, multiplicación y división de números complejos se define usando propiedades de números reales. De esta manera, notando que $i^2=-1,$ tenemos

$$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)$$

$$z_1 \cdot z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1).$$

Ahora, observemos que $$z\overline{z}= (x + iy)(x - iy) = x^2+y^2=|z|^2.$$ Este hecho es de utilidad para la división de números complejos

\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}. \]

Es relativamente sencillo demostrar que se cumplen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Desde un punto de vista geométrico, la suma de dos números complejos es equivalente a la ley del paralelogramo de vectores.

La terminología y notación usada en este libro para describir a los números complejos se encuentra resumida en la Figura 1.

Summarized information — Resumen de terminilogía y notación.

Sugiero que te familiarices con la terminología y notación presentada hasta ahora. Para hacerlo, trata de convencerte geométricamente (y/o algebraicamente) de cada uno de los siguientes hechos:

\begin{eqnarray*} \textbf{Re}(z)=\frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right)\quad\quad \textbf{Im}(z)=\frac{1}{2i}\left(z-\overline{z}\right)\quad \quad|z|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \tan\left(\textbf{arg}(z)\right)=\frac{\textbf{Im}(z)}{\textbf{Re}(z)}\quad \quad re^{i\theta}=r(\cos \theta +i \sin \theta) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \overline{\overline{z}}=z\quad \quad \left|z_1z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|\quad \quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|},\; (z_2\neq0) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\quad \quad \quad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\quad \quad \quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\; (z_2\neq0) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \left|z_1\pm z_2\right|\leq \left|z_1\right|+\left|z_2\right| \quad \quad \quad \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|\leq \left|z_1\pm z_2\right| \end{eqnarray*}

La siguiente expresión se conoce como la desigualdad generalizada del triángulo:

\begin{eqnarray*} |z_1+z_2+\cdots +z_n|\leq |z_1|+ |z_2|+\cdots |z_n| \end{eqnarray*}

¿Cuándo se da la igualdad?