Interpretación Geométrica

de las Operaciones Aritméticas

Adición y Sustracción

Geométricamente, la adición de dos números complejos $Z_1$ y $Z_2$ se puede visualizar como la adición de vectores usando la ley del paralelogramo. El vector suma $Z_1+Z_2$ se representa con la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores originales.

La forma más fácil de representar la diferencia $Z_1-Z_2$ es al interpretarla en términos de la adición con un vector negativo, $Z_1 + \left(-Z_2\right).$ El vector negativo es el mismo que su versión positiva, solo está dirigido en dirección opuesta.

Usa el siguiente applet para explorar esta interpretación geométrica. Activa las casillas de abajo para mostrar la adición y sustracción. También puedes mover los puntos $Z_1$ y $Z_2$ con el mouse.

Ejercicio 1: ¿Puedes proponer una interpretación geométrica de la adición de tres números complejos? En general, ¿cómo sería una interpretación geométrica de la adición de $n$ números complejos?

Multiplicación

En la sección anterior definimos la multiplicación de dos números complejos $Z_1 $ y $Z_2$ como

\begin{eqnarray*} Z_1 Z_2 &=& \left( x_1 + i y_1 \right) \left( x_2 + i y_2 \right)\\ &=& (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_1y_2+x_2y_1). \end{eqnarray*}

En este caso, para apreciar lo que sucede geométricamente necesitamos considerar la forma polar de $Z_1 $ y $Z_2.$ Es decir

\begin{eqnarray*} Z_1 &=& r_1 \left( \cos \phi_1 + i \sin \phi_1 \right) \\ Z_2 &=& r_2 \left( \cos \phi_2 + i \sin \phi_2 \right) \end{eqnarray*}

Entonces el producto se puede escribir de la forma

\begin{eqnarray*} Z_1 Z_2 &=& r_1 r_2 \big[ \left(\cos \phi_1 \cos\phi_2 - \sin \phi_1 \sin \phi_2\right) \big.\\ &+& \big. i\left(\sin \phi_1 \cos\phi_2 + \cos \phi_1 \sin \phi_2\right)\big]. \end{eqnarray*}

Ahora, utilizando los teoremas de adición de las funciones seno y coseno, esta expresión se puede reescribir como

\begin{eqnarray*} Z_1 Z_2 &=& r_1 r_2 \big[ \cos \left( \phi_1 +\phi_2 \right) + i \sin \left( \phi_1 +\phi_2 \right)\big]. \end{eqnarray*}

De esta forma, el producto $Z_1Z_2$ tiene como módulo $r_1r_2$ y su argumento es $\phi_1+\phi_2.$

En el siguiente applet puedes apreciar lo que sucede con el argumento del producto. Mueve los puntos $Z_1$ y $Z_2$ y observa el comportamiento de los ángulos. Después mueve el deslizador en la vista gráfica inferior.

Ejercicio 2: Considera ahora \begin{eqnarray*} Z_1 &=& r_1 \left( \cos \phi_1 + i \,\text{sen } \phi_1 \right) \\ Z_2 &=& r_2 \left( \cos \phi_2 + i \,\text{sen } \phi_2 \right) \end{eqnarray*} tales que $Z_2\neq 0.$ Calcula la representación polar de $Z_1/Z_2.$ ¿Cuál es la interpretación geométrica de esta expresión?

Multiplicación de números complejos como dilataciones, expansiones y rotaciones

En el siguiente applet se grafican un conjunto de puntos definidos aleatoriamente en el plano complejo. Después cada punto es multiplicado por un número complejo $z.$ En el lado derecho de la vista gráfica, mueve el punto $z$ al rededor y analiza el comportamiento de los puntos (⭕) multiplicados por $z$ y trata de responder las siguientes preguntas:

¿Qué sucede cuando $z$ está adentro, o afuera, del círculo unitario?
¿Qué sucede si $z$ se mueve solo sobre el círculo unitario?

Nota: También puedes estudiar el comportamiento de los puntos (⚫) multiplicados por $1/z$ al activar la casilla Multiplica por 1/z.

Como ya habrás notado la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos se trata de una dilatación (o, expansión) y rotación de vectores en el plano.

En el applet anterior, con la opción Multiplica por z, define n = 1 moviendo el deslizador a la izquierda. En este caso, el applet muestra los tres números complejos $$z_0, z \text{ y } z_1 = z_0\cdot z,$$ representados como vectores. Cuando $z_0$ y $z$ son diferentes de zero, entonces

el módulo de $z_1$ es igual a $|z_0 \cdot z|,$ y
el argumento de $z_1$ es igual a $\text{Arg }(z_0+z).$

Si $|z| > 1,$ tenemos una expansión. Si $|z| < 1,$ entonces tenemos una dilatación.

Ejercicio 3: Usa el mismo applet, con la opción Multiplica por 1/z, para investigar qué sucede cuando multiplicamos por $1/z.$ Define n = 1 moviendo el deslizador a la izquierda para mostrar los tres números complejos $$z_0, \; z \; \text{ y } \; z_2 = z_0\cdot \frac{1}{z}.$$ ¿Qué sucede con el módulo y el argumento de $z_2$?