El Argumento Principal

En este texto la notación $\textbf{arg} (z)$ se usa para designar un argumento arbitrario de $z,$ lo cual significa que $\textbf{arg} (z)$ es un conjunto de números. En particular, la relación $$\textbf{arg} (z_1) = \textbf{arg} (z_2)$$ no es una ecuación, sino que expresa una igualdad entre dos conjuntos.

Como consecuencia, dos números complejos $r_1 (\cos \varphi_1 + i \,\text{sen }\varphi_1)$ y $r_2 (\cos \varphi_2 + i \,\text{sen }\varphi_2)$ son iguales si y sólo si

$$r_1=r_2,\quad \text{and}\quad \varphi_1 = \varphi_2+ 2 k \pi,$$

donde $k \in \mathbb Z.$

Para hacer que el argumento de $z$ sea un número bien definido, es conveniente restringir su valor al intervalo $(-\pi, \pi].$ Esta elección especial se denomina argumento principal o la rama principal del argumento y se denota como $\textbf{Arg}(z).$

Notemos que no existe una convención general acerca de la definición del valor principal, algunas veces sus valores se consideran definidos en el intervalo $[0, 2\pi).$ Esta ambigüedad es una fuente perpetua de mal entendidos y errores. En este libro siempre utilizaremos el intervalo $(-\pi, \pi].$

El argumento principal $\textbf{Arg}(z)$ de un número complejo $z=x+iy$ normalmente está dado por $$\Theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right),$$ donde $y/x$ es la pendiente, y $\arctan$ convierte la pendiente en ángulo. Pero esto es correcto solo cuando $x > 0,$ cuando el cociente está definido y el ángulo está entre $-\pi/2$ and $\pi/2.$ Necesitamos extender esta definición a los casos donde $x$ no es positivo, considerando el valor principal del argumento de forma separada en los cuatro cuadrantes del plano complejo.

La función $\textbf{Arg}(z)$ $:\mathbb C \setminus \{0\} \rightarrow \left(-\pi,\pi\right]$ está definida como:

\begin{eqnarray*} \textbf{Arg}(z)= \left\{\def\arraystretch{1.2}% \begin{array}{@{}c@{\quad}r@{}} \arctan \frac{y}{x} & \;\text{if $x>0,$ $y\in \mathbb R$}\\ \arctan \frac{y}{x}+\pi & \;\text{if $x <0,$ $y\geq 0$}\\ \arctan \frac{y}{x}-\pi & \;\text{if $x < 0,$ $y < 0$}\\ \frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y> 0$}\\ -\frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y < 0$}\\ \text{undefined}& \;\text{if $x=0,$ $y=0$}\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*}

De esta forma, si $z=r(\cos \Theta +i\,\text{sen } \Theta),$ con $r>0$ y $-\pi < \Theta \leq \pi,$ entonces

\begin{eqnarray*} \textbf{arg}(z)= \{ \textbf{Arg}(z)+2n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \}. \end{eqnarray*}

Podemos visualizar los múltiples valores de $\textbf{arg}(z)$ al usar superficies de Riemann. El siguiente applet interactivo muestra algunas ramas (o valores) de $\textbf{arg}(z).$ Cada rama se identifica con un color diferente.

Argumentos de productos y cocientes

Si $z_1= r_1e^{\theta_1}$ y $z_2= r_2e^{\theta_2},$ entonces \begin{eqnarray}\label{product} z_1z_2 = \left(r_1r_2\right)e^{i\left(\theta_1 + \theta_2\right)} \end{eqnarray} implica \begin{eqnarray}\label{arg-product} \arg\left(z_1z_2\right) = \arg\left(z_1\right) + \arg\left(z_2\right). \end{eqnarray} Podemos probar fácilmente (\ref{arg-product}) dejando que $\theta_1$ y $\theta_2$ representen cualquier valor de $\arg\left(z_1\right)$ y $\arg\left(z_2\right),$ respectivamente. Entonces la expresión (\ref{product}) nos dice que $\theta_1+\theta_2$ es un valor de $\arg\left(z_1z_2\right).$ Si los valores de $\arg\left(z_1z_2\right)$ y $\arg\left(z_1\right)$ están especificados, estos valores corresponden a elecciones particulares de $n$ y $k$ en las expresiones \[ \arg\left(z_1z_2\right) = \left(\theta_1 + \theta_2\right)+ 2n\pi\quad (n\in \Z) \] y \[ \arg\left(z_1\right) =\theta_1 + 2k\pi\quad (k\in \Z) \] Ahora, dado que \[ \left(\theta_1 + \theta_2\right)+ 2n\pi = \theta_1 + 2k\pi + \left[\theta_2 + 2(n-k)\pi\right], \] la ecuación (\ref{arg-product}) se satisface al elegir el valor \[ \arg\left(z_2\right) =\theta_2 + 2(n-k)\pi. \] La verificación cuando los valores de $\arg\left(z_1z_2\right)$ y $\arg\left(z_2\right)$ están especificados sigue por simetría.

La afirmación (\ref{arg-product}) a veces es válida cuando se reemplaza $\arg$ por $\Arg$ en todas partes. Sin embargo, como ilustra el siguiente ejemplo, no es siempre el caso.

Ejemplo: Considera $z_1 = -1$ y $z_2=i.$ Entonces \[ \Arg\left(z_1z_2\right) = \Arg(-i)=-\frac{\pi}{2} \] pero \[ \Arg\left(z_1\right)+\Arg\left(z_2\right) = \pi +\frac{\pi}{2}= \frac{3\pi}{2}. \] Sin embargo, si tomamos los valores de $\arg (z_1)$ y $\arg (z_2)$ que acabamos de usar y seleccionamos el valor \[ \Arg\left(z_1z_2\right) + 2\pi = -\frac{\pi}{2}+ 2\pi = \frac{3\pi}{2} \] de $\arg (z_1z_2),$ encontramos que la ecuación (\ref{arg-product}) se satisface.

Ejercicio: Recuerda que $\dfrac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}.$ Usa la afirmación (\ref{arg-product}) para mostrar que \[ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg\left(z_1\right) -\arg\left(z_2\right). \]