Raíces de Números Complejos

Recordemos que si $z=x+iy$ es un número complejo diferente de cero, entonces se puede escribir en su forma polar como \[z=r(\cos \theta +i \,\text{sen } \theta)\] donde $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta$ es el ángulo, en radianes, medido desde el eje positivo $x$ al rayo que conecta el origen con el punto $z.$

Ahora, la fórmula de De Moivre's establece que si $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ y $n$ es un entero positivo, entonces \begin{eqnarray*} z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen } n\theta). \end{eqnarray*}

Sea $z$ un número complejo. Usando la fórmula de De Moivre nos ayudará a resolver la ecuación $$w^n=z$$ para $w$ cuando $z$ es dado.

Supongamos que $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ y $w=\rho (\cos \psi +i\,\text{sen } \psi).$ Entonces De Moivre nos dice que $$w^n=\rho^n(\cos n\psi+i\,\text{sen } n\psi).$$ Dado que $w^n=z,$ se aquí sigue que $$\rho^n=r=|w|$$ por la unicidad de la representación polar y además $$n\psi = \theta +k(2\pi),$$ donde $k$ es un entero. De esta forma, la $n$-ésima raíz de un número complejo differente de zero esta dada por

\begin{eqnarray}\label{n-roots} w_k=z^{1/n}=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) \right]. \end{eqnarray}

Cada valor de $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ nos da un valor diferente de $w_k.$ Cualquier otro valor de $k$ simplemente repite uno de los valores de $w_k$ correspondiente a $k=0,1,2,\ldots ,n-1.$ Por lo que hay exactamente $n$ raíces de un número complejo $z\neq 0.$

Usando la fórmula de Euler: $$e^{i\theta}=\cos \theta +i \,\text{sen } \theta,$$ el número complejo $z=r(\cos \theta +i\,\text{sen } \theta)$ se puede escribir también es su forma exponencial como $$z=re^{i\theta} = r \, \mbox{exp} (i\theta).$$

De esta manera, las $n$ raíces del número complejo $z\neq 0$ se pueden expresar como

\begin{eqnarray}\label{expform} w_k=z^{1/n}=\sqrt[n]{r}\;\mbox{exp}\left[i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right] \end{eqnarray}

donde $k=0, 1, 2, \ldots , n-1.$

Ejemplo: El número complejo $z=i$ tiene tres raíces cúbicas. En este caso $r=1,$ y $\theta = \arg(z) = \pi/2.$ Entonces la forma polar de este número es \[ z = \cos \frac{\pi}{2} + i \,\text{sen}\frac{\pi}{2}. \] Usando (\ref{n-roots}) obtenemos

\[ w_k = \sqrt[3]{1}\left[\cos\left(\frac{\pi/2}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\,\text{sen }\left(\frac{\pi/2}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right] \]

con $k=0,1,2.$ Por lo tanto las tres raíces son \begin{eqnarray*} k=0,\quad w_0 &=& \cos\frac{\pi}{6} + i \,\text{sen }\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\\ k=1,\quad w_1 &=& \cos\frac{5\pi}{6} + i \,\text{sen }\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i \\ k=2,\quad w_2 &=& \cos\frac{3\pi}{2} + i \,\text{sen }\frac{3\pi}{2} = -i . \end{eqnarray*}

El applet siguiente muestra una representación geométrica y numérica de las $n$ raíces de un número complejo, hasta $n=10.$ Mueve el punto rojo alrededor para cambiar el valor de $z$ o activa la caja Especifíca valores para mover los deslizadores. Puedes explorar las raíces del ejemplo anterior.

Código

Usa el siguiente script en GeoGebra para que explorar o hacer tu propia versión. El símbolo# indica commentarios.

#Número
Z = 1 + ί

#Módulo de Z
r = abs(Z)

#Ángulo de Z
theta = arg(Z)

#Número de raíces
n = Slider(2, 10, 1, 1, 150, false, true, false, false)

#Grafica n-raíces
nRoots = Sequence(r^(1/n) * exp( ί * ( theta/n + 2 * pi * k/n ) ), k, 0, n-1)

Ejercicio 1: Usando la forma exponencial de las raíces complejas definida en (\ref{expform}), demuestra que las $n$ raíces se encuentran sobre el círculo $|z|=\sqrt[n]{r}$ con centro en el origen y están distribuidas alrededor de este en espacios iguales a $2\pi/n$ radianes, comenzando con el argumento $\theta/n.$

Ejercicio 2: Encuentra las cuatro raíces de $z=1+i.$ Puedes usar el applet anterior para checar tu resultado.