Análisis Complejo

El Conjunto de Julia


En la sección anterior mostramos cómo se puede generar el conjunto de Mandelbrot usando la expresión \[z_{n + 1} = z_ {n}^2 + z_0. \] Este es un caso particular de la ecuación de recurrencia cuadrática \begin{eqnarray} \label{julia} z_{n + 1} = z_ {n}^2 + c \end{eqnarray} con $ c $ un número complejo fijo. El conjunto que obtenemos con esta ecuación se conoce como conjunto de Julia. De hecho, hay un conjunto de Julia diferente para casi cada $ c $.

De manera similar a como hicimos para el conjunto de Mandelbrot, obtenemos una secuencia de números complejos $ z_n $ con $ n = 0,1,2, \ldots $. Nuevamente, se dice que los puntos $ z_n $ forman la órbita de $ z_0 $, y el conjunto de Julia se define de la siguiente manera:

Si la órbita $z_n$ no tiende a infinito, el valor inicial $z_0$ pertenece al Conjunto de Julia.

El conjunto de Julia lleva el nombre del matemático francés Gaston Julia quien investigó sus propiedades en 1915 y culminó con su famoso artículo en 1918: Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles. Si bien el conjunto de Julia ahora está asociado con el polinomio cuadrático en (\ref{julia}), Julia estaba interesado en las propiedades iterativas de una expresión más general, a saber \[z^4 + \frac{z^3} {z-1} + \frac{z^2}{z^3 + 4 z^2 + 5} + c. \] Los conjuntos de Julia, definidos por la ecuación (\ref{julia}), pueden tomar todo tipo de formas, y un pequeño cambio en $ c $ puede cambiar enormemente el conjunto de Julia. En 1979, con la ayuda de la computadora, B. B. Mandelbrot estudió los conjuntos de Julia e intentó clasificar todas las formas posibles y se le ocurrió una nueva forma: el Conjunto de Mandelbrot.

Explora los conjuntos de Julia en el siguiente subprograma. Acerca o aleja la imagen en diferentes regiones. Cambiar el número de iteraciones y observa lo que sucede con la trama. Mueve el mouse y observa los diferentes conjuntos de Julia correspondientes al valor de $ c $.

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La conexión entre los conjuntos de
Mandelbrot y Julia

Debido a la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente. En otras palabras, el conjunto de Mandelbrot forma una especie de índice del conjunto de Julia. Un conjunto de Julia puede ser conexo o disconexo, y esto depende de los valores de $ c $ elegidos dentro del conjunto de Mandelbrot. Cuando los valores de $c$ están dentro del conjunto de Mandelbrot, los conjuntos de Julia son conexos, mientras que para valores en el exterior los conjuntos de Julia son disconexos. Los conjuntos disconexos a menudo se denominan polvo, y consisten en puntos individuales sin importar la resolución en la que se miren.

Explora la relación entre los conjuntos de Mandelbrot y Julia en el siguiente applet. Mueve el mouse sobre el conjunto de Mandelbrot para observar diferentes conjuntos de Julia. Acerca o aleja la imagen en diferentes regiones. Abre el menú Controles para cambiar el número de iteraciones o elije un valor específico de $c$.

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Otras lecturas sugeridas

Los applets en esta sección fueron hechos con p5.js y el código fuente se puede encontrar en los siguientes enlaces:

Si deseas aprender a programarlo, te recomiendo este tutorial:

Finalmente, te recomiendo dos de las introducciones ampliamente conocidas acerca de los conjuntos de Mandelbrot y Julia:

Ambos libros abordan otros fascinantes fractales y contienen muchas imágenes espectaculares.

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