Aplicaciones de
Mapeos Conformes

Hidrodinámica

Si tenemos un fluido no viscoso e incompresible (en estado estacionario), estamos interesados en encontrar su campo de velocidad (campo vectorial) $$\mathbf V (x,y)= \left(u(x,y), v(x,y)\right).$$ Del Análisis Vectorial sabemos que 'incompresible' significa que la divergencia es igual a 0, es decir, $\text{div}\,\mathbf V =0.$ (Decimos que $\mathbf V$ es libre de divergencia.) Aquí asumimos que $\mathbf V$ es también un flujo potencial y por lo tanto es libre de circulación; esto es $\mathbf V = \text{grad } \phi $ para algún $\phi$ llamado potencial de velocidad. De esta manera $\phi$ es armónica porque $$\nabla^2\phi = \text{div } \text{grad }\phi = \text{div } \mathbf V=0.$$ De esta manera cuando resolvemos para $\phi$ podemos obtener $\mathbf V$ al tomar $\mathbf V = \text{grad } \phi.$ Es decir \begin{eqnarray*} u=\frac{\partial \phi }{\partial x},\quad v=\frac{\partial \phi }{\partial y}. \end{eqnarray*}

El conjugado $\psi$ de la función armónica $\phi$ (el cual existirá en cualquier región simplemente conexa) se denomina función de flujo, y la función analítica $$F=\phi +i\psi$$ se llama potencial complejo.

La función de flujo debe satisfacer lo siguiente \begin{eqnarray*} u=\frac{\partial \psi }{\partial y},\quad v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}. \end{eqnarray*} Finalmente, las líneas de valor constante $\psi$ tienen a $\mathbf V$ como sus tangentes, así que las líneas de valor constante $\psi$ se pueden interpretar como las líneas por las cuales las partículas del fluido se mueve; de lo cual se deriva el nombre 'función de flujo'.