Potencial Complejo

Flujo uniforme

El potencial complejo \begin{eqnarray}\label{uniform} F(z)=Ue^{-i\alpha}z \end{eqnarray} corresponde al flujo uniforme con velocidad $U$ en una dirección con respecto al ángulo \(\alpha\) formado con el eje $x.$

Aquí estamos interesados en calcular el campo de velocidad $$\mathbf V = \left(u(x,y), v(x,y)\right).$$ Pero primero necesitamos obtener la función de flujo $\psi,$ la cual es la componente imaginaria de ($\ref{uniform}$).

Re-escribiendo ($\ref{uniform}$) obtenemos \begin{eqnarray*} F(z)&=& Ue^{-i\alpha}z \\ &=& U\left( \cos \alpha - i \sin \alpha \right)\left( x+iy\right) \\ &=& U\left( x\cos \alpha + y \sin \alpha \right) + i U\left( y\cos \alpha - x \sin \alpha \right). \end{eqnarray*} De esta forma \begin{eqnarray*} \psi = U\left( y\cos \alpha - x \sin \alpha \right). \end{eqnarray*}

Finalmente, dado que $u=\dfrac{\partial \psi}{\partial y}$ y $v=-\dfrac{\partial \psi}{\partial x},$ tenemos que \begin{eqnarray*} u=U \cos \alpha ,\quad v=U\sin \alpha. \end{eqnarray*}

El siguiente applet muestra una simulación del flujo uniforme. Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros. Haz clic en el botón Trace para mostrar las líneas de flujo. Haz clic en el botón Field para mostrar el campo vectorial.

Flujo del punto de estancamiento

El potencial complejo \begin{eqnarray*} F(z)=\frac{k z^2}{2} \end{eqnarray*} corresponde al flujo del punto de estancamiento con fuerza $k\geq 0.$

Fuente & Sumidero

Una fuente con fuerza $Q>0$ en el origen se representa con el potencial complejo \begin{eqnarray}\label{source-sink} F(z)=\frac{Q}{2\pi}\log z . \end{eqnarray} Notemos que esta función es multiple valuada, con un punto rama en el origen. Si $Q<0,$ entonces el potencial complejo corresponde a un sumidero.

Es fácil generalizar (\ref{source-sink}) para un punto arbitrario $(a, b)$ en el plano complejo. El potencial complejo requerido es \begin{eqnarray*} F(z)=\frac{Q}{2\pi}\log(z-c). \end{eqnarray*} donde $c= a+ib.$

Vórtice

Un vórtice con fuerza $C$ en el origen se representa con el potencial complejo \begin{eqnarray*} F(z)=\frac{-iC}{2\pi}\log z . \end{eqnarray*} Esta función es de nuevo multivaluada. Para $C>0,$ la rotación es anti-horaria, y para $C < 0$ la rotación es en sencido horaria.

Un vórtice en un punto arbitrario $c\in \mathbb C$ se representa con el potencial complejo \begin{eqnarray*} F(z)=\frac{-iC}{2\pi}\log(z-c). \end{eqnarray*} donde $c= a+ib.$

Combinación de potenciales complejos

Los flujos básicos presentados anteriormente se pueden combinar superponiendo los potenciales complejos correspondientes.

Por ejemplo, considera el flujo uniforme $Uz,$ con velocidad $U\ge 0,$ y una fuente $\frac{Q}{2\pi}\log z ,$ con $Q\ge 0.$ Con estos podemos producir el potencial complejo \begin{eqnarray}\label{comb} F(z)=Uz+\frac{Q}{2\pi}\log z . \end{eqnarray} El siguiente applet muestra el flujo producido por (\ref{comb}). Mueve los deslizadores para cambiar los parámetros.