Transformaciones Lineales Fraccionarias

Si $a,b,c,$ y $d$ son constantes complejas con $ad-bc\neq 0,$ entonces la transformación \begin{eqnarray}\label{mobius} T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray} se llama transformación lineal fraccionaria o transformación de Möbius. Observa que también podemos escribir (\ref{mobius}) en la forma

\begin{eqnarray}\label{bilinear} Azw + Bz+Cw+D = 0 \qquad (AD-BC\neq 0); \end{eqnarray}

con $w = T(z).$ Dado que esta forma alternativa es lineal en $z$ y lineal en $w,$ otro nombre para la transformación lineal fraccionaria es transformación bilineal.

Si $c=0,$ entonces la condición $ad-bc\neq 0$ en la ecuación (\ref{mobius}) se convierte en $ad\neq 0.$ Así, la transformación $T$ se reduce a una función lineal no constante $az+b.$ Cuando $c\neq 0,$ podemos escribir la ecuación (\ref{mobius}) como

\begin{eqnarray}\label{mobius-composition} T(z) = \frac{bc-ad}{c}\cdot \frac{1}{cz+d}+ \frac{a}{c} \qquad (ad-bc\neq 0) \end{eqnarray}

De nuevo, la condición $ad-bc\neq 0$ asegura que no obtenemos una función constante. La transformación $T(z)=1/z$ es obviamente un caso especial de (\ref{mobius}) cuando $c\neq 0.$ (Ya cubrimos esta función en el Capítulo 3)

La ecuación (\ref{mobius-composition}) revela que una transformación lineal es una composición de las transformaciones:

\[ f(z)= \frac{bc-ad}{c}z+\frac{a}{c},\quad g(z) = \frac{1}{z}, \quad h(z) = cz+d. \]

Es decir, $T(z) = f\circ g \circ h(z) = f\left( g\left( h(z)\right)\right).$ Así, se deduce que, independientemente de si $c$ es cero o no, cualquier transformación lineal fraccionaria mapea círculos y líneas en círculos y líneas. Puedes verificar esto fácilmente para las funciones $f$ y $h.$ La función $g$ ya fue explorada en la sección: La Transformación $1/z$.

El dominio de una transformación lineal fraccionaria $T$ dada en (\ref{mobius}) es el conjunto de todos los números complejos $z$ tales que $z\neq d/c.$ Además, dado que \[ T'(z) = \frac{ad-bc}{\left(cz+d\right)^2}, \] con $ad-bc \neq 0,$ entonces las transformaciones lineales fraccionarias son conformes en sus dominios.

Cuando $c\neq 0,$ es decir, cuando $T$ no es una función lineal, es a menudo útil ver $T$ como una transformación del plano complejo extendido:

\begin{eqnarray}\label{mobius-extended} T(z) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{az+b}{cz+d}, & z\neq -\dfrac{d}{c}, z\neq \infty\\ \infty, & z=-\dfrac{d}{c}\\ \dfrac{a}{c}, & z=\infty. \end{array} \right. \end{eqnarray}

En este caso, $T$ es una transformación uno-a-uno del plano complejo extendido. Por lo tanto, existe $T^{-1}$ tal que $T^{-1}\left(T(z)\right) = z =T\left(T^{-1}(z)\right).$ En este caso, $T^{-1}$ es también una transformación lineal fraccionaria y se define como \[ T^{-1}(w) = \frac{-dw + b}{cw -a} \qquad (ad-bc\neq 0). \]

En aplicaciones, a menudo necesitamos encontrar una transformación conforme de un dominio $D$ limitado por círculos a un dominio $D'$ limitado por líneas. Las transformaciones lineales fraccionarias son, en particular, adecuadas para dichas aplicaciones.

Razones Cruzadas

Considera la siguiente ecuación

\begin{eqnarray}\label{cross} \frac{\left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)}{\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right)} = \frac{\left(z- z_1\right)\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)\left(z_2- z_1\right)}. \end{eqnarray}

Los dos lados de esta ecuación se conocen como razones cruzadas.

La ecuación (\ref{cross}) define (implícitamente) una transformación lineal fraccionaria que mapea tres puntos distintos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ en el plano $z$ finito respectivamente sobre tres puntos distintos $w_1,$ $w_2,$ y $w_3$ en el plano $w$ finito. Podemos verificar fácilmente esto escribiendo la ecuación (\ref{cross}) como

\begin{eqnarray}\label{cross-02} \left(z- z_3\right)\left(w- w_1\right)\left(z_2- z_1\right)\left(w_2- w_3\right) = \left(z- z_1\right)\left(w- w_3\right)\left(z_2- z_3\right)\left(w_2- w_1\right) \end{eqnarray}

Si $z=z_1,$ entonces el lado derecho de (\ref{cross-02}) es cero. Así que $w=w_1.$
Si $z=z_2,$ entonces tenemos la ecuación lineal
\[ \left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)=\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right) \]
cuya solución única es $w=w_2.$
Si $z=z_3,$ entonces el lado izquierdo de (\ref{cross-02}) es cero; y, en consecuencia, $w=w_3.$

Se puede demostrar que la ecuación (\ref{cross}) define una transformación lineal fraccionaria expandiendo los productos de (\ref{cross-02}) y escribiendo el resultado en la forma \[ Azw+Bz+Cw+D=0 \qquad (AD-BC\neq 0). \] Como ejercicio, demuestra que la ecuación (\ref{cross}) define en realidad la única transformación lineal que mapea los puntos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ sobre $w_1,$ $w_2,$ y $w_3,$ respectivamente.

Ejemplo 1: Para encontrar una transformación lineal fraccional que mapea $z_1=1,$ $z_2=i,$ y $z_3=-1$ sobre $w_1=-1,$ $w_2=0,$ y $w_3=1,$ usamos la ecuación (\ref{cross}) para escribir

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w+1\right)\left(0-1\right)}{\left(w- 1\right)\left(0+ 1\right)} = \frac{\left(z- 1\right)\left(i + 1\right)}{\left(z+1\right)\left(i- 1\right)}. \end{eqnarray*}

Resolviendo para $w$ en términos de $z$ obtenemos \[ w = T(z) = \frac{z-i}{iz-1}. \]

Si la ecuación (\ref{cross}) se modifica adecuadamente, también puede usarse cuando el punto en el infinito es uno de los puntos prescritos en el plano (extendido) $z$ o $w.$ Supongamos, por ejemplo, que $z_1=\infty.$ Dado que cualquier transformación lineal fraccional es continua en el plano extendido, solo necesitamos reemplazar $z_1$ en el lado derecho de la ecuación (\ref{cross}) por $1/z_1,$ eliminar fracciones y dejar que $z_1$ tienda a cero. Es decir

\begin{eqnarray*} \lim_{z_1\to 0} \frac{\left(z- 1/z_1\right)\left(z_2 -z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_2- 1/z_1\right)}\cdot \frac{z_1}{z_1} = \lim_{z_1\to 0} \frac{\left(z_1z- 1/z\right)\left(z_2 -z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_1z_2- 1\right)} = \frac{z_2 -z_2}{z-z_3} . \end{eqnarray*}

Así obtenemos la modificación deseada de la ecuación (\ref{cross})

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)}{\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right)} = \frac{\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)}. \end{eqnarray*}

Esta modificación se obtiene simplemente eliminando los factores que involucran $z_1$ en la ecuación (\ref{cross}). Es fácil comprobar que el mismo enfoque se aplica cuando cualquiera de los otros puntos prescritos es $\infty.$

Example 2: Para encontrar la transformación lineal fraccionaria que mapea $z_1=1,$ $z_2=0,$ y $z_3=-1$ sobre $w_1=i,$ $w_2=\infty,$ y $w_3=1,$ usamos la modificación

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- w_1\right)}{\left(w- w_3\right)} = \frac{\left(z- z_1\right)\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)\left(z_2- z_1\right)}. \end{eqnarray*}

de la equación (\ref{cross}). De esta forma

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- i\right)}{\left(w- 1\right)} = \frac{\left(z- 1\right)\left(0+1\right)}{\left(z+1\right)\left(0- 1\right)}. \end{eqnarray*}

Al resolver para $w$ obtenemos \[ w = T(z) = \frac{(i+1)z+(i-1)}{2z}. \]

Mapeos del semiplano superior

La siguiente transformación \begin{eqnarray}\label{upper} T(z) = e^{i\alpha} \frac{z- z_0}{z-\conj{z}}, \end{eqnarray} con $\alpha\in \R$ y $\Im(z_0)\gt 0,$ define todas las transformaciones lineales fraccionales que mapean el semiplano superior $\Im(z)$ en el disco abierto $|w| \lt 1 $ y la frontera $\Im(z)=0$ del semiplano en la frontera $|w| = 1$ del disco.

Use el applet a continuación para explorar la transformación definida en (\ref{upper}). Aquí empezamos en el disco $|w| \leq 1.$ Arrastra el deslizador para aplicar la transformación. Luego, mueva el punto $z_0$ y observa qué sucede. También puedes modificar el valor de $\alpha.$ ¿Qué notas? ¿Qué preguntas te puedes hacer?

Ejercicio 1: Con base en tus observaciones del applet anterior, ¿qué puedes decir acerca de la transformación cuando $\Im(z_0) = 0$ o $\Im(z_0) \lt 0$? ¿Qué sucede cuando modificas el valor de $\alpha$?

Ejercicio 2: Desmuestra que la transformación definida en (\ref{upper}) mapea el semiplano superior $\Im (z) \gt 0$ en el disco $|w| \lt 1$ y la frontera del semiplano en la frontera del disco.

Clasificación de las transformaciones de Möbius

Una forma fundamental de entender las transformaciones lineales fraccionarias (de Möbius) es a través de sus puntos fijos. Un punto $z_0$ se llama punto fijo de una transformación $T$ si \[ T(z_0) = z_0. \] Para una transformación \[ T(z) = \frac{az+b}{cz+d}, \qquad (ad-bc \neq 0), \] los puntos fijos se obtienen resolviendo \[ \frac{az+b}{cz+d} = z, \] lo que conduce a la ecuación cuadrática \[ cz^2 + (d-a)z - b = 0. \]

Así, una transformación de Möbius tiene ya sea uno o dos puntos fijos en el plano complejo extendido. El número y la naturaleza de los puntos fijos (distintos o repetidos) están determinados por el discriminante de esta cuadrática. Esta observación conduce a una clasificación natural.

1. Transformaciones con dos puntos fijos distintos

Si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas, entonces la transformación tiene dos puntos fijos distintos. En este caso, la transformación es conjugada a una simple dilatación, rotación o combinación de ambas, de la forma \[ S(z) = kz, \qquad k \in \mathbb{C}\setminus\{0,1\}. \]

Si $k > 0$ (real positivo) y $k \neq 1$, la transformación se llama transformación hiperbólica. En este caso $|k| \neq 1$ y $k$ es real.
Si $|k| = 1$ pero $k \neq 1$ (es decir, $k = e^{i\theta}$ con $\theta \not\equiv 0 \mod 2\pi$), la transformación se llama transformación elíptica.
Si $k$ no es real positivo ni tiene módulo unitario (es decir, $k \notin \mathbb{R}^+$ y $|k| \neq 1$), la transformación se llama transformación loxodrómica. Tales transformaciones combinan rotación y dilatación.

Geométricamente, las transformaciones hiperbólicas actúan como escalamientos (estiramiento a lo largo de geodésicas), las transformaciones elípticas actúan como rotaciones, y las transformaciones loxodrómicas son una composición de ambas. Todas ellas preservan el conjunto de círculos y rectas después de un cambio de coordenadas adecuado.

2. Transformaciones con un punto fijo (doble)

Si la ecuación cuadrática tiene una raíz repetida, entonces la transformación tiene exactamente un punto fijo en el plano complejo extendido. En este caso, la transformación es conjugada a una traslación \[ S(z) = z + c, \qquad c \neq 0. \]

Tales transformaciones se llaman transformaciones parabólicas.

3. Clasificación mediante la traza

Otra clasificación útil surge al asociar la transformación con la matriz \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \neq 0. \]

Dado que multiplicar la matriz por un escalar no nulo no cambia la transformación de Möbius, podemos normalizar la matriz para que su determinante sea igual a $1$ (es decir, trabajar con $SL(2,\mathbb{C})$, el grupo lineal especial). Después de esta normalización, la clasificación depende del valor de la traza $\tau = a + d$:

Elíptica: $\tau \in \mathbb{R}$ y $|\tau| \lt 2$.
Parabólica: $\tau = \pm 2$ (el punto fijo es único).
Hiperbólica: $\tau \in \mathbb{R}$ y $|\tau| > 2$.
Loxodrómica: $\tau \notin \mathbb{R}$ (es decir, $\operatorname{Im}(\tau) \neq 0$).

Esta clasificación es particularmente importante en geometría y sistemas dinámicos, donde describe el comportamiento cualitativo de las iteraciones de la transformación. Las transformaciones hiperbólicas y loxodrómicas exhiben un comportamiento caótico en la esfera de Riemann, mientras que las transformaciones elípticas son periódicas y las parabólicas no son ni periódicas ni caóticas, sino que tienen un único punto fijo neutral.

En la siguiente animación se puede apreciar visualmente la clasificación de las transformaciones de Möbius. Seleccione la vista gráfica con el mouse y luego presione las teclas:

1. Elíptica, 2. Hiperbólica, 3. Loxodrómica, 4. Parabólica, 5. Mostrar/Ocultar Esfera.

Pantalla completa

Ejercicio 3: Encuentre y clasifique los puntos fijos de la transformación \[ T(z) = \frac{2z+1}{z+1}. \] Determine si es elíptica, parabólica o hiperbólica.

Solución

Puntos fijos: $\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ (dos puntos reales distintos).
Forma matricial: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, determinante $= 1$ (ya normalizada). Traza $\tau = 3 \in \mathbb{R}$, $|\tau| > 2$.
Clasificación: Hiperbólica.