Transformaciones Lineales Fraccionarias

Si $a,b,c,$ y $d$ son constantes complejas con $ad-bc\neq 0,$ entonces la transformación \begin{eqnarray}\label{mobius} T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray} se llama transformación lineal fraccionaria o transformación de Möbius. Observa que también podemos escribir (\ref{mobius}) en la forma

\begin{eqnarray}\label{bilinear} Azw + Bz+Cw+D = 0 \qquad (AD-BC\neq 0); \end{eqnarray}

con $w = T(z).$ Dado que esta forma alternativa es lineal en $z$ y lineal en $w,$ otro nombre para la transformación lineal fraccionaria es transformación bilineal.

Si $c=0,$ entonces la condición $ad-bc\neq 0$ en la ecuación (\ref{mobius}) se convierte en $ad\neq 0.$ Así, la transformación $T$ se reduce a una función lineal no constante $az+b.$ Cuando $c\neq 0,$ podemos escribir la ecuación (\ref{mobius}) como

\begin{eqnarray}\label{mobius-composition} T(z) = \frac{bc-ad}{c}\cdot \frac{1}{cz+d}+ \frac{a}{c} \qquad (ad-bc\neq 0) \end{eqnarray}

De nuevo, la condición $ad-bc\neq 0$ asegura que no obtenemos una función constante. La transformación $T(z)=1/z$ es obviamente un caso especial de (\ref{mobius}) cuando $c\neq 0.$ (Ya cubrimos esta función en el Capítulo 3)

La ecuación (\ref{mobius-composition}) revela que una transformación lineal es una composición de las transformaciones:

\[ f(z)= \frac{bc-ad}{c}z+\frac{a}{c},\quad g(z) = \frac{1}{z}, \quad h(z) = cz+d. \]

Es decir, $T(z) = f\circ g \circ h(z) = f\left( g\left( h(z)\right)\right).$ Así, se deduce que, independientemente de si $c$ es cero o no, cualquier transformación lineal fraccionaria mapea círculos y líneas en círculos y líneas. Puedes verificar esto fácilmente para las funciones $f$ y $h.$ La función $g$ ya fue explorada en la sección: La Transformación $1/z$.

El dominio de una transformación lineal fraccionaria $T$ dada en (\ref{mobius}) es el conjunto de todos los números complejos $z$ tales que $z\neq d/c.$ Además, dado que \[ T'(z) = \frac{ad-bc}{\left(cz+d\right)^2}, \] con $ad-bc \neq 0,$ entonces las transformaciones lineales fraccionarias son conformes en sus dominios.

Cuando $c\neq 0,$ es decir, cuando $T$ no es una función lineal, es a menudo útil ver $T$ como una transformación del plano complejo extendido:

\begin{eqnarray}\label{mobius-extended} T(z) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{az+b}{cz+d}, & z\neq -\dfrac{d}{c}, z\neq \infty\\ \infty, & z=-\dfrac{d}{c}\\ \dfrac{a}{c}, & z=\infty. \end{array} \right. \end{eqnarray}

En este caso, $T$ es una transformación uno-a-uno del plano complejo extendido. Por lo tanto, existe $T^{-1}$ tal que $T^{-1}\left(T(z)\right) = z =T\left(T^{-1}(z)\right).$ En este caso, $T^{-1}$ es también una transformación lineal fraccionaria y se define como \[ T^{-1}(w) = \frac{-dw + b}{cw -a} \qquad (ad-bc\neq 0). \]

En aplicaciones, a menudo necesitamos encontrar una transformación conforme de un dominio $D$ limitado por círculos a un dominio $D'$ limitado por líneas. Las transformaciones lineales fraccionarias son, en particular, adecuadas para dichas aplicaciones.

Razones Cruzadas

Considera la siguiente ecuación

\begin{eqnarray}\label{cross} \frac{\left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)}{\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right)} = \frac{\left(z- z_1\right)\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)\left(z_2- z_1\right)}. \end{eqnarray}

Los dos lados de esta ecuación se conocen como razones cruzadas.

La ecuación (\ref{cross}) define (implícitamente) una transformación lineal fraccionaria que mapea tres puntos distintos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ en el plano $z$ finito respectivamente sobre tres puntos distintos $w_1,$ $w_2,$ y $w_3$ en el plano $w$ finito. Podemos verificar fácilmente esto escribiendo la ecuación (\ref{cross}) como

\begin{eqnarray}\label{cross-02} \left(z- z_3\right)\left(w- w_1\right)\left(z_2- z_1\right)\left(w_2- w_3\right) = \left(z- z_1\right)\left(w- w_3\right)\left(z_2- z_3\right)\left(w_2- w_1\right) \end{eqnarray}

Si $z=z_1,$ entonces el lado derecho de (\ref{cross-02}) es cero. Así que $w=w_1.$
Si $z=z_2,$ entonces tenemos la ecuación lineal
\[ \left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)=\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right) \]
cuya solución única es $w=w_2.$
Si $z=z_3,$ entonces el lado izquierdo de (\ref{cross-02}) es cero; y, en consecuencia, $w=w_3.$

Se puede demostrar que la ecuación (\ref{cross}) define una transformación lineal fraccionaria expandiendo los productos de (\ref{cross-02}) y escribiendo el resultado en la forma \[ Azw+Bz+Cw+D=0 \qquad (AD-BC\neq 0). \] Como ejercicio, demuestra que la ecuación (\ref{cross}) define en realidad la única transformación lineal que mapea los puntos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ sobre $w_1,$ $w_2,$ y $w_3,$ respectivamente.

Ejemplo 1: Para encontrar una transformación lineal fraccional que mapea $z_1=1,$ $z_2=i,$ y $z_3=-1$ sobre $w_1=-1,$ $w_2=0,$ y $w_3=1,$ usamos la ecuación (\ref{cross}) para escribir

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w+1\right)\left(0-1\right)}{\left(w- 1\right)\left(0+ 1\right)} = \frac{\left(z- 1\right)\left(i + 1\right)}{\left(z+1\right)\left(i- 1\right)}. \end{eqnarray*}

Resolviendo para $w$ en términos de $z$ obtenemos \[ w = T(z) = \frac{z-i}{iz-1}. \]

Si la ecuación (\ref{cross}) se modifica adecuadamente, también puede usarse cuando el punto en el infinito es uno de los puntos prescritos en el plano (extendido) $z$ o $w.$ Supongamos, por ejemplo, que $z_1=\infty.$ Dado que cualquier transformación lineal fraccional es continua en el plano extendido, solo necesitamos reemplazar $z_1$ en el lado derecho de la ecuación (\ref{cross}) por $1/z_1,$ eliminar fracciones y dejar que $z_1$ tienda a cero. Es decir

\begin{eqnarray*} \lim_{z_1\to 0} \frac{\left(z- 1/z_1\right)\left(z_2 -z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_2- 1/z_1\right)}\cdot \frac{z_1}{z_1} = \lim_{z_1\to 0} \frac{\left(z_1z- 1/z\right)\left(z_2 -z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_1z_2- 1\right)} = \frac{z_2 -z_2}{z-z_3} . \end{eqnarray*}

Así obtenemos la modificación deseada de la ecuación (\ref{cross})

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- w_1\right)\left(w_2- w_3\right)}{\left(w- w_3\right)\left(w_2- w_1\right)} = \frac{\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)}. \end{eqnarray*}

Esta modificación se obtiene simplemente eliminando los factores que involucran $z_1$ en la ecuación (\ref{cross}). Es fácil comprobar que el mismo enfoque se aplica cuando cualquiera de los otros puntos prescritos es $\infty.$

Example 2: Para encontrar la transformación lineal fraccionaria que mapea $z_1=1,$ $z_2=0,$ y $z_3=-1$ sobre $w_1=i,$ $w_2=\infty,$ y $w_3=1,$ usamos la modificación

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- w_1\right)}{\left(w- w_3\right)} = \frac{\left(z- z_1\right)\left(z_2- z_3\right)}{\left(z- z_3\right)\left(z_2- z_1\right)}. \end{eqnarray*}

de la equación (\ref{cross}). De esta forma

\begin{eqnarray*} \frac{\left(w- i\right)}{\left(w- 1\right)} = \frac{\left(z- 1\right)\left(0+1\right)}{\left(z+1\right)\left(0- 1\right)}. \end{eqnarray*}

Al resolver para $w$ obtenemos \[ w = T(z) = \frac{(i+1)z+(i-1)}{2z}. \]

Mapeos del semiplano superior

La siguiente transformación \begin{eqnarray}\label{upper} T(z) = e^{i\alpha} \frac{z- z_0}{z-\conj{z}}, \end{eqnarray} con $\alpha\in \R$ y $\Im(z_0)\gt 0,$ define todas las transformaciones lineales fraccionales que mapean el semiplano superior $\Im(z)$ en el disco abierto $|w| \lt 1 $ y la frontera $\Im(z)=0$ del semiplano en la frontera $|w| = 1$ del disco.

Use el applet a continuación para explorar la transformación definida en (\ref{upper}). Aquí empezamos en el disco $|w| \leq 1.$ Arrastra el deslizador para aplicar la transformación. Luego, mueva el punto $z_0$ y observa qué sucede. También puedes modificar el valor de $\alpha.$ ¿Qué notas? ¿Qué preguntas te puedes hacer?

Ejercicio 1: Con base en tus observaciones del applet anterior, ¿qué puedes decir acerca de la transformación cuando $\Im(z_0) = 0$ o $\Im(z_0) \lt 0$? ¿Qué sucede cuando modificas el valor de $\alpha$?

Ejercicio 2: Desmuestra que la transformación definida en (\ref{upper}) mapea el semiplano superior $\Im (z) \gt 0$ en el disco $|w| \lt 1$ y la frontera del semiplano en la frontera del disco.