La Transformación $w=1/z$

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Consideremos la ecuación $$w=\frac{1}{z}$$ la cual establece una correspondencia uno a uno de los puntos diferentes de cero entre los planos $z$ y $w.$ Dado que $z\overline{z} = |z|^2,$ el mapeo se puede describir por medio de transformaciones sucesivas $$g(z)=\frac{z}{|z|^2},\quad f(z)=\overline{g(z)}.$$ La primera transformación $g(z)$ se trata de una inversión con respecto al círculo unitario $|z| = 1.$ Es decir, la imagen de un punto diferente de cero $z$ es el punto $g(z)$ con las propiedades $$|g(z)| = \frac{1}{|z|}\quad\text{and}\quad \textbf{arg } g(z) = \textbf{arg } z.$$ De esta manera los puntos exteriores al círculo $|z| = 1$ son mapeados a los puntos en su interior, e inversamente. Cualquier punto en el círculo es mapeado a sí mismo. La segunda transformación $f(z)=\overline{g(z)}$ es simplemente una reflexión en el eje real.

Si consideramos la función \begin{eqnarray*} T(z)=\frac{1}{z}, \quad z\neq 0, \end{eqnarray*} podemos definir $T$ en el origen y el punto al infinito de tal forma que esta sea continua en el plano complejo extendido. Para hacer $T$ continua en el plano extendido, entonces escribimos \begin{eqnarray*} T(0)=\infty,\quad T(\infty)=0, \quad \text{y}\quad T(z)=\frac{1}{z} \end{eqnarray*} para los demás valores $z.$

Mapeos de $1/z$

Una propiedad interesante del mapeo $w = 1/z$ es que transforma círculos y líneas rectas en círculos y rectas.

Puedes observar esto de manera intuitiva en el siguiente applet.

• Selecciona una Línea o Círculo.
• Mueve los puntos en la vista gráfica de la izquierda. Puedes cambiar la posición de la línea o el círculo al mover los puntos grises.

Observa con cuidado lo que sucede a los puntos $w_1, w_2$ (la imagen de $z_1$ y $z_2,$ respectivamente) en el plano $uv,$ mostrado en la vista gráfica de la derecha.

• ¿Qué puedes notar cuando la línea en el plano $xy$ cruza el origen?
• ¿Qué sucede cuando el círculo en el plano $xy$ cruza el origen?

Cuando $A,$ $B,$ $C$ y $D$ son números reales y satisfacen la condición $B^2+C^2>4AD,$ la ecuación \begin{eqnarray}\label{circle01} A\left(x^2+y^2\right)+Bx+Cy+D=0 \end{eqnarray} representa un círculo o una línea en general. En el caso de $A\neq 0,$ se define un círculo. Mientras que cuando $A=0,$ se define una línea.

Usando el método de completar cuadrados perfectos, podemos re-escribir la ecuación (\ref{circle01}) de la siguiente manera

Esto hace evidente la necesidad de la condición $B^2+C^2>4AD$ cuando $A\neq 0.$ Ahora, si $A = 0,$ la condición se convierte en $B^2 + C^2 > 0,$ la cual significa que $B$ y $C$ deben ser diferentes de cero.

Ahora, usando las relaciones

podemos re-escribir la ecuación (\ref{circle01}) en la forma \begin{eqnarray}\label{circle03} 2Az\overline{z}+(B-iC)z+(B+iC)\overline{z}+2D=0. \end{eqnarray} Dado que $w=1/z,$ la ecuación (\ref{circle03}) se convierte en \begin{eqnarray*} 2Dw\overline{w}+(B+iC)w+(B-iC)\overline{w}+2A=0 \end{eqnarray*} y usando las relaciones \begin{eqnarray}\label{exp02} u=\frac{w+\overline{w}}{2},\quad v=\frac{w-\overline{w}}{2i}, \end{eqnarray} obtenemos \begin{eqnarray}\label{circle04} D(u^2+v^2)+Bu-Cv+A=0 \end{eqnarray} la cual representa también un círculo o una línea recta.

Ahora es claro, a partir de las ecuaciones (\ref{circle01}) y (\ref{circle04}) que

1. un círculo ($A \neq 0$) que no pase por el origen ($D \neq 0$) en el plano $z$ se transforma en un círculo que no pasa por el origen en el plano $w$;
2. un círculo ($A \neq 0$) que pasa por el origen ($D = 0$) en el plano $z$ se transforma en una línea que no pasa por el origen en el plano $w$;
3. una línea recta ($A = 0$) que no pase por el origen ($D \neq 0$) en el plano $z$ se transforma en un círculo que pasa por origen en el plano $w$;
4. una línea recta ($A = 0$) que pasa por el origen $(D = 0)$ en el plano $z$ se transforma en una línea recta que pasa por el origen en el plano $w.$