La Transformación
Consideremos la ecuación
la cual establece una correspondencia uno a uno de
los puntos diferentes de cero entre los planos y
Dado que el mapeo
se puede describir por medio de transformaciones sucesivas
La primera transformación se trata de una inversión
con respecto al círculo unitario Es decir, la
imagen de un punto diferente de cero es el punto
con las propiedades
De esta manera los puntos exteriores al círculo
son mapeados a los puntos en su interior, e inversamente.
Cualquier punto en el círculo es mapeado a sí mismo.
La segunda transformación
es simplemente una reflexión en el eje real.
Si consideramos la función
podemos definir en el origen y el punto al infinito
de tal forma que esta sea continua en el plano complejo
extendido. Para hacer continua en el plano extendido, entonces
escribimos
para los demás valores
Mapeos de
Una propiedad interesante del mapeo es que transforma
círculos y líneas rectas en círculos y rectas.
Puedes observar esto de manera intuitiva en el siguiente applet.
- Selecciona una
Línea
o Círculo
.
- Mueve los puntos en la vista gráfica de la izquierda.
Puedes cambiar la posición de la línea o el círculo al mover los
puntos grises.
Observa con cuidado lo que sucede
a los puntos (la imagen de y respectivamente)
en el plano mostrado en la vista gráfica de la derecha.
- ¿Qué puedes notar cuando la línea en el plano cruza el origen?
- ¿Qué sucede cuando el círculo en el plano cruza el origen?
Cuando y son números reales y satisfacen la condición
la ecuación
representa un círculo o una línea en general. En el caso de
se define un círculo. Mientras que cuando se define una línea.
Usando el método de completar cuadrados perfectos,
podemos re-escribir la ecuación () de la siguiente manera
Esto hace evidente la necesidad de la condición cuando
Ahora, si la condición se convierte en
la cual significa que y deben ser
diferentes de cero.
Ahora, usando las relaciones
podemos re-escribir la ecuación () en la forma
Dado que la ecuación () se convierte en
y usando las relaciones
obtenemos
la cual representa también un círculo o una línea recta.
Ahora es claro, a partir de las ecuaciones () y () que
- un círculo () que no pase por el origen
() en el plano se transforma en un círculo
que no pasa por el origen en el plano ;
- un círculo () que pasa por el origen ()
en el plano se transforma en una línea que no pasa por el origen
en el plano ;
- una línea recta () que no pase por el origen () en el plano
se transforma en un círculo que pasa por origen en el
plano ;
- una línea recta () que pasa por el origen en el plano
se transforma en una línea recta que pasa por el origen en el plano
Ejercicio: Verifica que la expresión
se puede obtener de las ecuaciones
definidas en () usando las relaciones
() y ().