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La Transformación w=1/z


Consideremos la ecuación w=1z la cual establece una correspondencia uno a uno de los puntos diferentes de cero entre los planos z y w. Dado que zz=|z|2, el mapeo se puede describir por medio de transformaciones sucesivas g(z)=z|z|2,f(z)=g(z). La primera transformación g(z) se trata de una inversión con respecto al círculo unitario |z|=1. Es decir, la imagen de un punto diferente de cero z es el punto g(z) con las propiedades |g(z)|=1|z|andarg g(z)=arg z. De esta manera los puntos exteriores al círculo |z|=1 son mapeados a los puntos en su interior, e inversamente. Cualquier punto en el círculo es mapeado a sí mismo. La segunda transformación f(z)=g(z) es simplemente una reflexión en el eje real.

Si consideramos la función T(z)=1z,z0, podemos definir T en el origen y el punto al infinito de tal forma que esta sea continua en el plano complejo extendido. Para hacer T continua en el plano extendido, entonces escribimos T(0)=,T()=0,yT(z)=1z para los demás valores z.


Mapeos de 1/z

Una propiedad interesante del mapeo w=1/z es que transforma círculos y líneas rectas en círculos y rectas.

Puedes observar esto de manera intuitiva en el siguiente applet.

  • Selecciona una Línea o Círculo.
  • Mueve los puntos en la vista gráfica de la izquierda. Puedes cambiar la posición de la línea o el círculo al mover los puntos grises.

Observa con cuidado lo que sucede a los puntos w1,w2 (la imagen de z1 y z2, respectivamente) en el plano uv, mostrado en la vista gráfica de la derecha.

  • ¿Qué puedes notar cuando la línea en el plano xy cruza el origen?
  • ¿Qué sucede cuando el círculo en el plano xy cruza el origen?

Cuando A, B, C y D son números reales y satisfacen la condición B2+C2>4AD, la ecuación (1)A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0 representa un círculo o una línea en general. En el caso de A0, se define un círculo. Mientras que cuando A=0, se define una línea.

Usando el método de completar cuadrados perfectos, podemos re-escribir la ecuación (1) de la siguiente manera

(x+B2A)2+(y+C2A)2=(B2+C24AD2A)2
Esto hace evidente la necesidad de la condición B2+C2>4AD cuando A0. Ahora, si A=0, la condición se convierte en B2+C2>0, la cual significa que B y C deben ser diferentes de cero.

Ahora, usando las relaciones

(2)x=z+z2,y=zz2i,
podemos re-escribir la ecuación (1) en la forma (3)2Azz+(BiC)z+(B+iC)z+2D=0. Dado que w=1/z, la ecuación (3) se convierte en 2Dww+(B+iC)w+(BiC)w+2A=0 y usando las relaciones (4)u=w+w2,v=ww2i, obtenemos (5)D(u2+v2)+BuCv+A=0 la cual representa también un círculo o una línea recta.

Ahora es claro, a partir de las ecuaciones (1) y (5) que

  1. un círculo (A0) que no pase por el origen (D0) en el plano z se transforma en un círculo que no pasa por el origen en el plano w;
  2. un círculo (A0) que pasa por el origen (D=0) en el plano z se transforma en una línea que no pasa por el origen en el plano w;
  3. una línea recta (A=0) que no pase por el origen (D0) en el plano z se transforma en un círculo que pasa por origen en el plano w;
  4. una línea recta (A=0) que pasa por el origen (D=0) en el plano z se transforma en una línea recta que pasa por el origen en el plano w.

Ejercicio: Verifica que la expresión D(u2+v2)+BuCv+A=0 se puede obtener de las ecuaciones definidas en (1) usando las relaciones (2) y (4).


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