Mapeos

Una función compleja $w = f (z)$ se puede considerar como un mapeo o transformación de los puntos en el plano $z = x + iy $ a los puntos en el plano $w = u + iv.$ Para el contexto de funciones de variable real de una dimensión, esta noción corresponde con la idea de la gráfica de $y = f (x),$ es decir, el mapeo de puntos $x$ a $y = f (x).$

En variable compleja la situación es diferente debido al hecho de que tenemos cuatro dimensiones. De esta manera, una representación gráfica similar al caso real de una dimensión no es posible. En su lugar, consideramos los dos planos complejos, $z$ y $w,$ de forma separada y nos preguntamos cómo se transforma, o mapea, una región en el plano $z$ a una región correspondiente, o imagen, en el plano $w.$

El siguiente applet visualiza la acción de una función compleja como un mapeo de un subconjunto en el plano $z$ al plano $w.$ Por ejemplo, las regiones moradas corresponden al dominio y al rango de la función, respectivamente. Cualquier punto $z$ del domino es mapeado al correspondiente punto $f(z)=w$ en el rango. Por supuesto, podemos elegir un dominio diferente (i.e. un triángulo o un cuadrado) para aplicar el mapeo. De esta manera la función mapea (transforma) los objetos coloreados del dominio al rango. Mueve el triángulo y el cuadrado (o los puntos) definidos en el plano $z$ para observar el efecto de la transformación en el plano $w.$

Observación: En análisis complejo la noción de dominio tiene dos significados diferentes. El primero alude al dominio (conjunto) de una función, mientras que el segundo se identifica con el concepto topológico de subconjunto abierto y conexo del plano complejo o de la esfera de Riemann. La mayoría de los dominios de funciones complejas que se usan en este libro serán dominios en el sentido topológico.

Exploración Dinámica

En el siguiente applet puedes explorar diferentes funciones complejas consideradas como mapeos. Cuando mueves la region cuadrada con el ratón en el plano $xy$ (lado izquierdo) puedes apreciar los cambios en el plano $uv$ (lado derecho).

Más cosas que puedes probar:

• Cambia la función compleja.
• Cambia la región al seleccionar los lados del cuadrado o activa la opción More.