Dominio coloreado

Retratos fase complejos

Una manera de visualizar funciones complejas $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es por medio de retratos fase. A un número complejo se le puede asignar un color dependiendo de su argumento, o fase. Los números positivos, por ejemplo, se puede colorear con rojo, mientras que los números negativos se pueden colorear con cian y los números con una parte imaginaria se pueden colorear de amarillo como se muestra en la Figura 1, la cual muestra un retrato fase para la función $f(z)=z.$

phase portrait for z — Retrato fase de $f(z)=z.$

En su libro Visual Complex Functions, Elias Wegert emplea retratos fase con curvas de nivel de la fase y del módulo (retratos fase mejorados) para el estudio de la teoría de funciones complejas. Observa por ejemplo las Figuras 2 y 3 para el caso de la función $f(z)=z.$

Se dice que una función compleja $f$ tiene un cero en $z_0$ si $f(z_0)=0.$ Por otra parte, se dice que $z_0$ es un polo cuando el valor de $f(z_0)$ es indefinido. Con el uso de los retratos fase mejorados, los ceros y polos de una función compleja $f(z)$ se pueden localizar fácilmente en los puntos donde todos los colores coinciden. Las Figuras 4 y 5 muestran el retrato de fase mejorado de las funciones $$f(z)=z \quad \text{y}\quad g(z)=1/z,$$ respectivamente. Observa el contraste entre las curvas de nivel del módulo en cada caso.

Consideremos ahora la función \begin{eqnarray}\label{eq1} f(z)=\frac{z-1}{z^2+z+1} \end{eqnarray} la cual tiene una raíz en $z_0=1$ y dos polos en $$z_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2} \quad \text{y} \quad z_{2}=\frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}.$$

La Figura 6 muestra el retrato fase mejorado de (\ref{eq1}) con las curvas de nivel del módulo. Nota el comportamiento de las curvas de nivel del módulo alrededor de la raíz (en el lado derecho) y en los polos (lado izquierdo). ¿Puedes ver la diferencia?

Explora funciones complejas

Usa el siguiente applet para explorar retratos fase mejorados de funciones complejas.

¡Advertencia!

Si no imponemos restricciones adicionales, como continuidad o diferenciabilidad, los conjuntos isométricos de funciones complejas pueden ser arbitrarios. Pero esto no sucede para funciones analíticas, las cuales son el objeto de mayor interés en este texto.

En realidad, funciones analíticas están (casi) determinadas de forma única por su retrato fase simple, pero esto no sucede para funciones en general. Por ejemplo, las funciones $f$ (analítica) y $g$ (no analítica) definidas como

\begin{eqnarray}\label{example} f(z)=\frac{z-1}{z^2+z+1}, \qquad g(z)=(z-1)\left(\overline{z}^2+\overline{z}+1\right) \end{eqnarray}

tienen el mismo retrato fase simple (excepto en sus ceros y polos) cuando en realidad son completamente diferentes.

Dado que los retratos de fase simples no siempre muestran suficiente información para explorar funciones complejas generales, recomiendo el uso de sus versiones mejoradas con curvas de nivel de módulo y fase en tales casos. La Figura 7 muestra dos de estos retratos de las funciones $f$ (izquierda) y $g$ (derecha) definidas en (\ref{example}).

Mueve el deslizador para cambiar los diferentes retratos fase mejorados
de $f$ (izquierda) y $g$ (derecha).

Una distinción notable entre los dos retratos es la forma de los mosaicos que forman una teselación del plano complejo. En la imagen de la izquierda, la mayoría de estos mosaicos son casi cuadrados y tienen esquinas en ángulo recto. En contraste, muchos mosaicos en el retrato fase de $g$ son alargados y sus ángulos difieren significativamente de $\pi/2$ - en algunos puntos, las curvas de nivel del módulo y la fase son incluso mutuamente tangentes.

Galería de funciones

Si deseas explorar más funciones complejas representadas con el dominio coloreado, entonces visita Domain coloring , donde podrás encontrar tamibién herramientas interactivas para explorar una gran variedad de funciones.