La Función Exponencial Compleja

La función potencia generalizada se define como: \begin{eqnarray}\label{gcp} f(z) = z^c = \exp(c\log z), \quad \text{with}\quad z\neq 0. \end{eqnarray}

Debido a la naturaleza multivaluada de $\log z$, se sigue que la función definida en (\ref{gcp}) también es multivaluada para cualquier valor no entero de $c$, con un punto de corte en $z=0.$ En otras palabras

\begin{eqnarray*} f(z) = z^c&= &\exp\left(c \log z\right) = \exp\left[c \left( \text{Log}\,z + 2n\pi i \right)\right], \end{eqnarray*}

con $n\in \mathbb Z.$

Por otra parte, tenemos que la función exponencial generalizada, para $c \neq 0 $, se define como:

\begin{eqnarray}\label{gef} f(z)=c^z=\exp(z\log c)=\exp\left[z \left(\text{Log}\,c +2 n \pi \, i\right)\right], \end{eqnarray}

con $n\in \mathbb Z.$

Notemos que la expresión (\ref{gef}) no posee un punto de corte (ni tampoco ningún tipo de singularidad) en el plano complejo extendido $z.$ De esta forma, podemos considerar la ecuación (\ref{gef}) como la definición de un conjunto de funciones de valor único independientes para cada valor de $n.$

Esta es la razón por la cual la naturaleza multivaluada de la función $f(z)=z^c$ difiere en contraste con la función $f(z)=c^z.$

Típicamente, el caso $n=0$ es el más usado, en el cual simplemente definimos: $$w=c^z=\exp(z\log c)=\exp(z\,\text{Log}\,c),$$ con $c\neq 0.$

Esto concuerda con la definición de la función exponencial $$e^z=e^x(\cos y +i\sin y )$$ donde $c = e$ (la constante de Euler).

Usa el siguiente applet para explorar las funciones (\ref{gcp}) y (\ref{gef}) definidas en la región $[-3,3]\times[-3,3].$ En este applet se muestra el retrato fase mejorado con curvas de nivel del módulo y fase. Mueve los puntos para cambiar el valor de $c$ en cada caso. También puedes desactivar las curvas de nivel, si así lo deseas.

Fase Módulo

Observación final: En práctica, muchos textos tratan la función exponencial generalizada como una función de valor único, $c^z=\exp(z\,\text{Log } c )$, solo cuando $c$ es un número real positivo. Para cualquier otro valor de $c$, es preferible usar la función multivaluada $c^z=\exp(z \log c ).$