Esfera de Riemann

El Punto al infinito

Para algunos propósitos es conveniente introducir el punto al infinito, denotado por $\infty,$ junto con todos los puntos $z\in \mathbb C.$ Debemos tener cuidado al hacer esto, porque corremos el riesgo de abusar del uso del símbolo $\infty.$ Sin embargo, con las debidas precauciones, podemos utilizarlo si queremos hablar de límites cuyos valores son infinitos o límites que tienden a infinito.

En contraste con la línea real, para la cual los símbolos $+\infty$ y $-\infty$ se puede agregar, en el caso de los números complejos $\mathbb C$ solo necesitamos un símbolo $\infty.$ La razón es que $\mathbb C$ es un conjunto que no tienen un orden natural como $\mathbb R.$ Formalmente agregamos el símbolo $\infty$ a $\mathbb C$ para obtener el plano complejo extendido, denotado por $\mathbb C^*=\mathbb C \cup \{\infty\},$ y definimos las operaciones con $\infty$ con las siguientes reglas

\begin{eqnarray*} z+\infty&=&\infty\\ z\cdot \infty&=&\infty \quad \quad \text{provided } z\neq 0\\ \infty+\infty&=&\infty\\ \infty\cdot\infty&=& \infty\\ \frac{z}{\infty}&=&0 \end{eqnarray*}

para $z\in \mathbb C.$ Notemos que algunas operaciones no están definidas:

$$\frac{\infty}{\infty}\,,\quad 0\cdot \infty\,,\quad \infty-\infty\,,$$

y además no están definidas por las mismas razones que de su versión de números reales.

El plano complejo extendido se puede mapear biyectivamente a la superficie de la esfera cuyo polo sur corresponde con el origen y su polo norte corresponde con el punto $\infty.$ Todos los demás puntos del plano complejo se pueden mapear uno-a-uno a los puntos en la superficie de la esfera usando la siguiente construcción. Conecta el punto $z$ en el plano con el polo norte usando una línea recta. Esta línea interseca a la esfera en el punto $P(z).$ De esta forma cada punto $z= x+iy$ en el plano complejo corresponde únicamente a un punto $P(z)$ en la superficie de la esfera. Esta construcción se conoce como la proyección estereográfica y es ilustrada en el siguiente applet.

En el siguiente applet se observa la esfera unitaria encima del plano complejo con el polo sur de la esfera localizado en el origen del plano $z.$ Mueve el punto definido en el plano complejo, o los deslizadores, para explorar el comportamiento del punto $P(z)$ en la esfera.

El plano complejo extendido también se le conoce con el nombre de plano complejo compactificado (cerrado). Utilizar el plano complejo de esta forma es muy útil y conocer cómo se realiza la construcción de la proyección estereográfica es también de gran utilidad en otros temas de matemáticas avanzados.

Límites relacionados con infinito

Ahora podemos introducir los siguientes conceptos de límites:

$\displaystyle \lim_{z\rightarrow \infty}f(z)=z_0$ significa: Para cada $\epsilon>0,$ existe un $R>0$ tal que $\left|f(z)-z_0\right| < \epsilon$ cuando sea $|z|> R.$
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=\infty$ significa: Para cada $R>0,$ existe un $\delta>0$ tal que $|f(z)|>R$ cuando sea $0<|z-z_0|< \delta.$
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow \infty}f(z)=\infty$ significa: Para cada $M>0,$ existe un $R>0$ tal que $|f(z)|>M$ cuando sea $|z|> R.$

Ejemplo 1: Si $f(z)=1/z^2,$ para $z\neq 0,$ entonces $$\lim_{z\rightarrow \infty}f(z)=0.$$ En realidad, dado $\epsilon>0$ tenemos $$\left|\frac{1}{z^2}-0\right|=\frac{1}{\left|z^2\right|}=\frac{1}{\left|z\right|^2} <\epsilon$$ al tomar $$\left|z\right|>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}=R.$$

Ejemplo 2: Sea $f(z)=1/(z-3),$ para $z\neq 3.$ Entonces $$\lim_{z\rightarrow 3}f(z)=\infty.$$ En realidad, para cada $R>0$ dado, la desigualdad $$\frac{1}{\left|z-3\right|}>R$$ se cumple cuando $$0<\left|z-3\right| < \frac{1}{R}=\delta.$$

Ejemplo 3: Ahora consideremos $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1},$ para $z\neq -1.$ Entonces \[ \lim_{z\to \infty} f(x) = \infty. \]

Example 3: Ahora sea $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1},$ for $z\neq -1.$ Entonces \[ \lim_{z\to \infty} f(x) = \infty. \] Existen varias formas de probar este límite. Un primer intento es encontrar la desigualdad adecuada. Primero, supongamos que $|z|\gt 1.$ Esto implica las siguientes desigualdades:

\begin{eqnarray} \left|2z^3+1\right|&\geq & 2\left|z^3\right|-1\gt 0\label{property}\\ \left|z^2\right|+\left|z^2\right|&\geq& \left|z^2\right|+1.\label{property2} \end{eqnarray}

Nota también que

$$ \left|z^2+1\right|\leq \left|z\right|^2+1\;\; \implies\;\; \frac{1}{\left|z\right|^2+1}\leq \frac{1}{\left|z^2+1\right|}. $$

Y usando la desigualdad (\ref{property2}) obtenemos

$$ \frac{2\left|z^3\right|-1}{\left|z^2+1\right|} \geq \frac{2\left|z^3\right|-1}{\left|z\right|^2+1}. $$

Y de la desigualdad (\ref{property2}) obtenemos

\[ \left|\dfrac{2z^3-1}{z^2+1}\right|\geq \frac{2\left|z\right|^3-1}{\left|z\right|^2+1}\geq \frac{\left|z\right|^3}{\left|z\right|^2+ \left|z\right|^2}= \frac{|z|}{2}. \]

Por lo tanto, para cada $M>0,$ podemos elegir $R = 1+ 2M$ para concluir que

\[ \left|\dfrac{2z^3-1}{z^2+1}\right| > M \;\text{ whenever } \;|z|>R. \]

Ahora podemos escribir la prueba en breve.

Demostración: Para cada $M\gt0,$ elegimos $R = 1+ 2M$ tal que $|z|\gt R.$ Entonces

\begin{eqnarray*} \left|\dfrac{2z^3-1}{z^2+1}\right|&\geq& \frac{2\left|z\right|^3-1}{\left|z\right|^2+1} &=& \frac{|z|}{2}\gt \frac{1+2M}{2}\gt M. \quad \blacksquare \end{eqnarray*}

Observación: Por cierto la elección de $R=1+2M$ no es única. Sólo necesitamos $R\geq 1$ para asegurar la segunda desigualdad en la prueba anterior, y $R\geq 2M$ para asegurar la última desigualdad. Incluso si obtenemos $|f(z)|>M/2$ al final, esto es una definición equivalente dado que tenemos un cuantificador universal “para cada $M\gt 0$”.

Existe una manera más sencilla de calcular límites como los mostrados en los Ejemplos 1-3. El siguiente teorema provee un método muy útil en este caso.

Si $z_0$ y$w_0 $ son puntos en los planos $z$ y $w,$ respectivamente, entonces

\begin{eqnarray*} \lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=\infty \quad\text{if and only if}\quad \lim_{z\rightarrow z_0}\frac{1}{f(z)}=0,\label{limiinfty01}\\ \lim_{z\rightarrow \infty }f(z)=w_0 \quad\text{if and only if}\quad \lim_{z\rightarrow 0}f\left(\frac{1}{z}\right)=w_0,\label{limiinfty02}\\ \lim_{z\rightarrow \infty }f(z)=\infty \quad\text{if and only if}\quad \lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{f(1/z)}=0.\label{limiinfty03} \end{eqnarray*}

Usando este resultado podemos encontrar fácilmente que

$$\lim_{z\rightarrow -1}\frac{iz+3}{z+1}=\infty \quad \text{dado que}\quad \lim_{z\rightarrow -1}\frac{z+1}{iz+3}=0$$

$$\lim_{z\rightarrow \infty}\frac{2z+i}{z+1}=2 \quad \text{dado que}\quad \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(2/z)+i}{(1/z)+1}=\frac{2+iz}{1+z}=2.$$

Más aún,

$$\lim_{z\rightarrow \infty}\frac{2z^3-1}{z^2+1}=\infty \quad \text{since}\quad \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}=\frac{z+z^3}{2-z^3}=0.$$

Aunque hemos utilizado con éxito técnicas de Cálculo para determinar límites de valor complejo, la intuición de variable real no siempre puede aplicarse. Por ejemplo, $\lim_{z\to \infty} e^{-z}$ no es $0$; de hecho, este límite no existe.