Continuidad

Una función $f$ es continua en un punto $z_0$ si las siguientes condiciones se satisfacen:

$\ds\lim_{z\rightarrow z_0}f(z)$ existe,
$f(z_0)$ existe, y
$\ds\lim_{z\rightarrow z_0}f(z) = f(z_0).$

Nota que el enunciado 3 en realidad contiene al enunciado 1 y 2, dado que la existencia de la cantidad de cada lado de la ecuación es necesaria.

El enunciado 3 dice que para cado número positivo $\epsilon,$ existe un número positivo $\delta$ tal que

\begin{eqnarray}\label{continuouscondition} \left|f (z) - f(z_0)\right| \lt \epsilon \quad \text{siempre que}\quad 0 \lt |z - z_0| \lt \delta \end{eqnarray}

Una función de variable compleja es continua en una región $R$ si es continua en cada punto en $R$.

Si una función $f$ no es continua en un punto $z_0$ entonces decimos que $f$ es discontinua en $z_0.$ Por ejemplo, la función \[ f(z)=\frac{1}{1+z^2} \] es discontinua en $z=i$ y $z=-i.$

Ejemplo 1: Afirmamos que la función $f(z)=\dfrac{1}{z}$ es continua para cada $z\neq 0$.

Para demostrar esto, elegimos un punto fijo $z_0\in \C\setminus\{0\}.$ Si $z\in \C\setminus\{0\},$ entonces \[ \abs{\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}} = \frac{\abs{z-z_0}}{\abs{z} \abs{z_0}}. \] Si $\abs{z-z_0}\lt \dfrac{\abs{z_0}}{2},$ entonces

\[ \abs{z}= \abs{z_0+z-z_0} \geq \abs{z_0}-\abs{z-z_0} \gt \frac{\abs{z}}{2} \]

y por lo tanto

\[ \abs{\frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}} \lt \frac{2}{\abs{z_0}^2}\abs{z-z_0}. \]

De esta manera, al elegir $\delta = \min\left\{ \dfrac{\abs{z_0}^2}{2}\epsilon, \dfrac{\abs{z_0}}{2} \right\}$ entonces tenemos $$ \abs{z-z_0}\lt \delta \implies \left| \frac{1}{z}-\frac{1}{z_0}\right|\lt\epsilon. $$

Observación: Una estrategia útil para demostrar que $f(z)$ es continua en $z_0$ es obtener una estimación de la forma

$$|f(z)-f(z_0)|\leq C|z-z_0|\;\; \text{para }\, z \;\;\text{cerca}\;\; z_0.$$

Esto garantiza que $|f(z)-f(z_0)|\lt\epsilon $ siempre que $|z-z_0|\lt\dfrac{\epsilon}{C},$ así que podemos tomar $\delta=\dfrac{\epsilon}{C}$ en la definición formal de límite.

En el ejemplo anterior mostramos que una función es continua en cantidad $z\in \C\setminus\{0\}.$ El siguiente ejemplo muestra cómo determinar la continuidad en un punto usando propiedades de límites.

Ejemplo 2: Considera la función $f(z) = z^2 - iz+ 2.$ Para mostrar que $f$ es continua en, digamos, $z_0=1-i,$ debemos encontrar $\ds \lim_{z\to z_0} f(z)$ y $f(z_0),$ entonces verificamos si estos valores complejos son iguales.

Usando las propiedades de límites tenemos que

\[ \lim_{z\to z_0} f(z) = \lim_{z\to 1-i } \left(z^2 - iz+ 2\right) = \left(1-i\right)^2-i(1-i)+ 2 = 1-3i. \]

Más aún, para $z_0=1-i$ obtenemos

\[ f(z_0) = f(1-i) = \left(1-i\right)^2-i(1-i)+ 2 = 1-3i. \]

Dado que $ \ds\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0),$ concluimos que $f(z) = z^2 - iz+ 2$ es continua en $z_0 = 1-i.$

La composición de funciones continuas es también continua.

Sea $w = f (z)$ una función que está definida para todo $z$ en una vecindad $|z - z_0 | \lt \delta_1$ de un punto $z_0,$ y sea $W=g(w)$ una función cuyo dominio de definición contiene la imagen de esa vecindad bajo $f.$ Entonces la composición $W=g\big(f(z)\big)$ está definida para todo $z$ en la vecindad $|z - z_0 | \lt \delta_1.$

Supongamos ahora que $f$ es continua en $z$ y que $g$ es continua en el punto $f (z )$ en el $w$-plano. Dado que $g$ es continua en $f (z ),$ para cada $\epsilon\gt 0$ existe $\delta_2\gt 0 $ tal que

\begin{eqnarray}\label{composition} \abs{g\big(f(z)\big)- g\big(f(z_0)\big)}\lt \epsilon \;\;\text{siempe que}\;\; \abs{f(z)- f(z_0)}\lt \delta_2. \end{eqnarray}

Dado que $f$ es continua en $z_0$, esto garantiza que la vecindad $\abs{z-z_0}\lt\delta_1$ se puede hacer suficientemente pequeña tal que las desigualdades dadas en (\ref{composition}) son válidas. Por lo tanto, la composición $g\big(f(z)\big)$ es continua.

Si una función es continua $f$ es continua y diferente de cero en un punto $z_0,$ entonces $f(z)\neq 0$ en el interior de alguna vecindad de ese punto.

Supongamos que $f$ es continua y además $f(z_0)\neq 0.$ Entonces para todo $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ tal que $|z-z_0|\lt\delta$ implica

$$|f(z)-f(z_0)|\lt\epsilon.$$

Dado que $f(z_0)\neq 0,$ podemos tomar $\epsilon=\dfrac{|f(z_0)|}{2}.$ Así que

$$|f(z)-f(z_0)|\lt\frac{\abs{f(z_0)}}{2}\quad \text{siempre que}\quad |z-z_0|\lt\delta.$$

Ahora, si existe un punto $z$ en la vecindad $|z - z_0| \lt\delta$ en la cual $f(z)=0,$ entonces tenemos que $$|f(z_0)|\lt\frac{f(z_0)}{2},$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el teorema queda demostrado.

Las properties algebraicas de límites se pueden re-escribir en términos de continuidad de funciones complejas. La demostración del siguiente teorema se deja como ejercicio.

Supongamos que $f$ y $g$ son continuas en $z_0,$ entonces las siguientes funciones son continuas en $z_0:$

$c\cdot f,$ con $c$ constante compleja,
$f \pm g,$
$f\cdot g,$ y
$\dfrac{f}{g},$ si $g(z_0)\neq 0.$

Ejercicio: Demuestra que los polinomios complejos son continuos en todo el plano complejo $\C.$