Continuidad

Una función $f$ es continua en un punto $z_{0}$ si las siguientes condiciones se satisfacen:

$lim_{z \to z_{0}} f (z)$ existe,
$f (z_{0})$ existe, y
$lim_{z \to z_{0}} f (z) = f (z_{0}) .$

Nota que el enunciado 3 en realidad contiene al enunciado 1 y 2, dado que la existencia de la cantidad de cada lado de la ecuación es necesaria.

El enunciado 3 dice que para cado número positivo $ε,$ existe un número positivo $δ$ tal que

\begin{array}{r} (1) & | f (z) - f (z_{0}) | < ε siempre que 0 < | z - z_{0} | < δ \end{array}

Una función de variable compleja es continua en una región $R$ si es continua en cada punto en $R$ .

Si una función $f$ no es continua en un punto $z_{0}$ entonces decimos que $f$ es discontinua en $z_{0} .$ Por ejemplo, la función $f (z) = \frac{1}{1 + z^{2}}$ es discontinua en $z = i$ y $z = - i .$

Ejemplo 1: Afirmamos que la función $f (z) = \frac{1}{z}$ es continua para cada $z \neq 0$ .

Para demostrar esto, elegimos un punto fijo $z_{0} \in C ∖ {0} .$ Si $z \in C ∖ {0},$ entonces $| \frac{1}{z} - \frac{1}{z_{0}} | = \frac{| z - z_{0} |}{| z | | z_{0} |} .$ Si $| z - z_{0} | < \frac{| z_{0} |}{2},$ entonces

| z | = | z_{0} + z - z_{0} | \geq | z_{0} | - | z - z_{0} | > \frac{| z_{0} |}{2} .

Es decir,

\frac{1}{| z_{0} | | z |} < \frac{2}{| z_{0} |^{2}} .

Por lo tanto

| \frac{1}{z} - \frac{1}{z_{0}} | = \frac{| z - z_{0} |}{| z | | z_{0} |} < \frac{2}{{| z_{0} |}^{2}} | z - z_{0} | .

De esta manera, al elegir $δ = min {\frac{{| z_{0} |}^{2}}{2} ε, \frac{| z_{0} |}{2}}$ entonces tenemos $| z - z_{0} | < δ ⟹ | \frac{1}{z} - \frac{1}{z_{0}} | < ε .$

Observación: Una estrategia útil para demostrar que $f (z)$ es continua en $z_{0}$ es obtener una estimación de la forma

| f (z) - f (z_{0}) | \leq C | z - z_{0} | para z cerca z_{0} .

Esto garantiza que

| f (z) - f (z_{0}) | < ε

siempre que

| z - z_{0} | < \frac{ε}{C},

así que podemos tomar

δ = \frac{ε}{C}

en la definición formal de límite.

En el ejemplo anterior mostramos que una función es continua en cantidad $z \in C ∖ {0} .$ El siguiente ejemplo muestra cómo determinar la continuidad en un punto usando propiedades de límites.

Ejemplo 2: Considera la función $f (z) = z^{2} - i z + 2.$ Para mostrar que $f$ es continua en, digamos, $z_{0} = 1 - i,$ debemos encontrar $lim_{z \to z_{0}} f (z)$ y $f (z_{0}),$ entonces verificamos si estos valores complejos son iguales.

Usando las propiedades de límites tenemos que

lim_{z \to z_{0}} f (z) = lim_{z \to 1 - i} (z^{2} - i z + 2) = {(1 - i)}^{2} - i (1 - i) + 2 = 1 - 3 i .

Más aún, para $z_{0} = 1 - i$ obtenemos

f (z_{0}) = f (1 - i) = {(1 - i)}^{2} - i (1 - i) + 2 = 1 - 3 i .

Dado que $lim_{z \to z_{0}} f (z) = f (z_{0}),$ concluimos que $f (z) = z^{2} - i z + 2$ es continua en $z_{0} = 1 - i .$

La composición de funciones continuas es también continua.

Sea

w = f (z)

una función que está definida para todo

z

en una vecindad

| z - z_{0} | < δ_{1}

de un punto

z_{0},

y sea

W = g (w)

una función cuyo dominio de definición contiene la imagen de esa vecindad bajo

f .

Entonces la composición

W = g (f (z))

está definida para todo

z

en la vecindad

| z - z_{0} | < δ_{1} .

Supongamos ahora que $f$ es continua en $z$ y que $g$ es continua en el punto $f (z)$ en el $w$ -plano. Dado que $g$ es continua en $f (z),$ para cada $ε > 0$ existe $δ_{2} > 0$ tal que

\begin{array}{r} (2) & | g (f (z)) - g (f (z_{0})) | < ε siempe que | f (z) - f (z_{0}) | < δ_{2} . \end{array}

Composition — Interpretación geométrica de la composición de funciones.

Dado que $f$ es continua en $z_{0}$ , esto garantiza que la vecindad $| z - z_{0} | < δ_{1}$ se puede hacer suficientemente pequeña tal que las desigualdades dadas en ( $2$ ) son válidas. Por lo tanto, la composición $g (f (z))$ es continua.

Si una función

f

es continua y diferente de cero en un punto

z_{0},

entonces

f (z) \neq 0

en el interior de alguna vecindad de ese punto.

Supongamos que

f

es continua y además

f (z_{0}) \neq 0.

Entonces para todo

ε > 0

existe un

δ > 0

tal que

| z - z_{0} | < δ

implica

| f (z) - f (z_{0}) | < ε .

Dado que $f (z_{0}) \neq 0,$ podemos tomar $ε = \frac{| f (z_{0}) |}{2} .$ Así que

| f (z) - f (z_{0}) | < \frac{| f (z_{0}) |}{2} siempre que | z - z_{0} | < δ .

Ahora, si existe un punto

z

en la vecindad

| z - z_{0} | < δ

en la cual

f (z) = 0,

entonces tenemos que

| f (z_{0}) | < \frac{f (z_{0})}{2},

lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el teorema queda demostrado.

Observemos también que la continuidad de $\begin{array}{r} (3) & f (z) = u (x, y) + i v (x, y) \end{array}$ está estrechamente relacionada con la continuidad de sus componentes $u$ y $v .$ De hecho, según el Teorema 2 en la sección de Límites, se deduce que la función ( $3$ ) es continua en un punto $z_{0} = (x_{0}, y_{0})$ si y solo si sus funciones componentes son continuas en ese punto. La demostración del próximo teorema muestra una aplicación de esta afirmación. Este teorema es altamente significativo y aparecerá con frecuencia en capítulos posteriores, particularmente en aplicaciones prácticas. Antes de presentar el teorema, recordemos que una región $R$ es cerrada si incluye todos sus puntos frontera, y está acotada si se encuentra completamente dentro de algún círculo centrado en el origen.

f

es continua en toda una región

R

que es tanto acotada como cerrada, entonces existe

M > 0

tal que

| f (z) | \leq M

para todos los puntos en

R,

donde la igualdad se cumple para al menos uno de esos

z .

f (z) = u (x, y) + i v (x, y)

es continua, entonces la función

F (x, y) = \sqrt{u^{2} + v^{2}}

también es continua en toda

R .

Esto significa que

F (x, y)

alcanza un valor máximo

M

en algún punto de

R .

Por lo tanto,

| f (z) | \leq M

para todos los puntos en

R .

Las properties algebraicas de límites se pueden re-escribir en términos de continuidad de funciones complejas. La demostración del siguiente teorema se deja como ejercicio.

Supongamos que

f

g

son continuas en

z_{0},

entonces las siguientes funciones son continuas en

z_{0} :

$c \cdot f,$ con $c$ constante compleja,
$f \pm g,$
$f \cdot g,$ y
$\frac{f}{g},$ si $g (z_{0}) \neq 0.$

Ejercicio: Demuestra que los polinomios complejos son continuos en todo el plano complejo $C .$