La Función Logaritmo

Considera $z$ un número complejo diferente de cero. Nos gustaría resolver para $w,$ la ecuación \begin{eqnarray}\label{log1} e^w=z. \end{eqnarray} Si $\Theta=\textbf{Arg} (z)$ con $-\pi < \Theta \leq \pi,$ entonces $z$ y $w$ se puede escribir como sigue \begin{eqnarray*} z=re^{i\Theta} \quad \text{and}\quad w=u+iv. \end{eqnarray*} Entonces la ecuación (\ref{log1}) se convierte en $$e^ue^{iv}=re^{i\Theta}.$$ De esta manera, tenemos \begin{eqnarray*} e^u=r\quad\text{and}\quad v=\Theta +2n\pi \end{eqnarray*} donde $n\in \mathbb Z .$ Dado que $e^u=r$ es lo mismo que $u=\ln r,$ se sigue que la ecuación (\ref{log1}) se satisface si y solo si $w$ tiene los mismos valores

\begin{eqnarray*} w=\ln r +i(\Theta + 2n\pi )\quad (n\in \mathbb Z ). \end{eqnarray*}

Por lo tanto, la función logaritmo (multivaluada) de una variable compleja $z=re^{i\Theta}$ se define con la fórmula

\begin{eqnarray}\label{log2} \log z=\ln r +i\left(\Theta + 2n\pi \right)\quad \quad(n\in \mathbb Z ). \end{eqnarray}

Ejemplo 1: Calcula $\log z$ for $z=-1-\sqrt{3}i.$

Solución: Si $z=-1-\sqrt{3}i,$ entonces $r=2$ y $\Theta=-\frac{2\pi}{3}.$ Por lo que $$\log(-1-\sqrt{3}i)=\ln 2 +i\left(-\frac{2\pi}{3}+2n\pi\right)=\ln 2 +2\left(n-\frac{1}{3}\right)\pi i$$ con $n\in \mathbb Z .$

El valor principal de $\log z$ es el valor que se obtiene de la ecuación (\ref{log2}) cuando $n = 0$ y se denota por $\text{Log} \,z.$ De esta forma $$\text{Log}\, z=\ln r +i\Theta .$$ La función $\text{Log}\, z$ está bien definida con un único valor cuando $z\neq 0$ y además $$ \log z=\text{Log}\, z+2n\pi i\quad (n\in \mathbb Z ) $$ Este se reduce al logaritmo usual estudiado en cursos de Cálculo cuando $z$ es un número real positivo.

Ejemplo 2: Calcula $\log \left(1\right)$ y $\log \left(-1\right).$

Solución: A partir de la expresión (\ref{log2}) $$ \log \left(1\right)=\ln 1+i\left(0+2n\pi\right)=2n\pi i\quad \quad(n\in \mathbb Z ) $$ y $$\log \left(-1\right)=\ln 1+i\left(\pi+2n\pi\right)=\left(2n+1\right)\pi i\quad \quad(n\in \mathbb Z ) $$ Notemos que $\text{Log}\, (1)=0$ y $\text{Log}\, (-1)=\pi i.$

La expresión (\ref{log2}) también es equivalente a: \begin{eqnarray*} \log z&=&\ln |z| +i\,\textbf{arg} (z)\\ &=&\ln |z| +i\,\textbf{Arg} (z)+2ni\,\pi \quad \quad(n\in \mathbb Z ) \end{eqnarray*}

Algunas propiedades básicas de la función $\log z$ son las siguientes:

$\log \left(z_1 \,z_2\right)=\log z_1 + \log z_2$
$\log\left( \dfrac{z_1}{z_2}\right)=\log z_1 -\log z_2$
En algunos casos tenemos $\text{Log}\,\left(z_1 \,z_2\right)\neq \text{Log}\, z_1 + \text{Log}\, z_2$

Ramas de Logaritmos

De la definición (\ref{log2}) sea $\theta = \Theta + 2n\pi$ ($n\in \mathbb Z$), de tal forma que podemos escribir \begin{eqnarray}\label{log30} \log z = \ln r +i\theta. \end{eqnarray}

Ahora, sea $\alpha$ cualquier número real. Si restringimos el valor de $\theta$ de tal forma que $\alpha < \theta < \alpha + 2n\pi$ , entonces la función

\begin{eqnarray}\label{log3} \log z=\ln r +i\theta \quad (r> 0, \alpha < \theta < \alpha + 2\pi ), \end{eqnarray}

con componentes \begin{eqnarray*} u(r, \theta)=\ln r, \quad v(r,\theta)=\theta, \end{eqnarray*} es una función de valor único y continua en el dominio establecido.

Una rama de una función multivaluada $f$ es una función de valor único $F$ que es analítica en algún dominio en cada punto $z.$ El requisito de analiticidad, por supuesto, previene tomar a $F$ de una selección aleatoria de $f.$ Observemos que para cada $\alpha,$ la función de valor único (\ref{log3}) es una rama de la función multivaluada (\ref{log30}). La función

\begin{eqnarray}\label{log4} \text{Log } z=\ln r +i\Theta \quad (r> 0, -\pi < \theta < \pi ), \end{eqnarray}

se denomina rama principal.

Un corte de rama es una porción de una línea o curva que se introduce para definir una rama $F$ de una función multivaluada $f.$ Puntos en el corte de la rama para $F$ se denominan puntos singulares de $F,$ y cualquier punto que sea común a todos los cortes de ramas de $f$ se llama punto rama. El origen y el rayo $\theta = \alpha$ son el corte de rama de (\ref{log3}) de la función logaritmo. El corte de rama principal para (\ref{log4}) consiste del origen y del rayo $= \pi.$ El origen es evidentemente un punto rama para las ramas de la función logaritmo multivaluada.

Podemos visualizar la naturaleza multivaluada del logaritmo complejo $\log z$ por medio de superficies de Riemann. Las siguientes imágenes interactivas muestran las componentes real e imaginaria de $\log(z).$ Cada rama de la parte imaginaria se identifica con un color diferente.

Componente real de $\log z$

Componente imaginaria de $\log z$: Cada rama se identifica con un color diferente.

Se debe tener cuidado al usar ramas de la función logaritmo complejo, especialmente porque algunas de las identidades del logaritmo no siempre son válidas, en comparación con el logaritmo real.

Observaciones finales

Notemos que $z\neq 0,$ tenemos que

\begin{eqnarray}\label{exp001} e^{\log z}=z\quad \text{and}\quad \log(e^z) =z+2n\pi i \end{eqnarray}

con $n\in \mathbb Z .$

Ejemplo 3: Calcula $e^{\log z},$ y $\log \left(e^z\right)$ para $z=4i.$

Solución: Si $z=4i,$ entonces $e^z=e^{4i}.$ Por lo tanto $$\log\left(e^{4i}\right)=4i +2n\pi i$$ con $n\in \mathbb Z .$ Por otra parte, tenemos que $$e^{\log\left(4i\right)}=4i.$$