Series

Convergencia de sucesiones

Una sucesión infinita de números complejos ${z_{1}, z_{2}, z_{3} \dots}$ tiene un límite $z$ si, para cada número positivo $ε,$ existe un entero positivo $n_{0}$ tal que $\begin{array}{r} (1) & | z_{n} - z | < ε siempre que n > n_{0} . \end{array}$

Geométricamente, esto significa que para valores suficientemente grandes de $n,$ los puntos $z_{n}$ se encuentran dentro de una $ε$ vecindad de $z$ (Figura 1). Dado que podemor elegir $ε$ tan pequeña como deseamos, se sigue que los puntos $z_{n}$ se acercan arbitrariamente a $z$ mientras su índices incrementan. Notemos que el valor de $n_{0}$ requerido, en general, depende del valor de $ε .$

Geometric interpretation — Interpretación geométrica.

La sucesión ${z_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ puede tener a lo más un límite. Esto es, un límite $z$ es único si existe. Cuando este límite existe, se dice que la sucecsión converge a $z$ ; y escribimos $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} z_{n} = z \end{array}$ Si la sucesión no tiene límite, entonces diverge.

Supongamos que

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

(

n = 1, 2, 3, \dots

) y

z = x + i y .

Entonces

\begin{array}{r} (2) & lim_{n \to \infty} z_{n} = z \end{array}

si y sólo si

\begin{array}{r} (3) & lim_{n \to \infty} x_{n} = x y lim_{n \to \infty} y_{n} = y . \end{array}

Demostración

Para demostrar este teorema, primero asumimos que se cumplen las condiciones ( $3$ ). Es decir, existe para cada $ε > 0,$ enteros positivos $n_{1}$ y $n_{2}$ tales que $| x_{n} - x | < \frac{ε}{2} siempre que n > n_{1}$ y $| y_{n} - y | < \frac{ε}{2} siempre que n > n_{2} .$ Por lo tanto so $n_{0}$ es el mayor de los dos enteros $n_{1}$ y $n_{2},$ $| x_{n} - x | < \frac{ε}{2} y | y_{n} - y | < \frac{ε}{2} simpre que n > n_{0} .$ Dado que $| (x_{n} + i y_{n}) - (x + i y) | = | (x_{n} - x) + (y_{n} - y) | \leq | x_{n} - x | + | y_{n} - y |,$ entonces $| z_{n} - z | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} siempre que n > n_{0} .$ Por lo tanto se cumple la condición ( $2$ ).

En cambio, si comenzamos con la condición ( $2$ ), sabemos que para cada número positivo $ε,$ existe un entero positivo $n_{0}$ tal que $| (x_{n} + i y_{n}) - (x + i y) | < ε siempre que n > n_{0} .$ Sin embargo $| x_{n} - x | \leq | (x_{n} - x) + (y_{n} - y) | = | (x_{n} + i y_{n}) - (x + i y) |$ y $| y_{n} - y | \leq | (x_{n} - x) + (y_{n} - y) | = | (x_{n} + i y_{n}) - (x + i y) | .$ Consecuentemente $| x_{n} - x | < ε y | y_{n} - y | < ε siempre que n > n_{0} .$ Por lo tanto, se satisfacen las condiciones ( $3$ ) $◼$

Convergencia de series

Una serie infinita $\begin{array}{r} (4) & \sum_{n = 1}^{\infty} z_{n} = z_{1} + z_{2} + z_{3} + \dots \end{array}$ de números complejos converge a la suma $S$ si la sucesión

\begin{array}{r} (5) & \sum_{n = 1}^{N} z_{n} = z_{1} + z_{2} + z_{3} + \dots + z_{N} (N = 1, 2, 3, \dots) \end{array}

de sumas parciales converge a

S

; y escribimos

\sum_{n = 1}^{\infty} z_{n} = S .

Dado que una sucesión puede tener a lo más un límite, una serie puede tener a lo más una suma. Cuando una serie no converge, decimos que es divergente.

Supongamos que

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

(

n = 1, 2, 3, \dots

) y

S = X + i Y .

Entonces

\begin{array}{r} (6) & \sum_{n = 1}^{\infty} z_{n} = S \end{array}

si y sólo si

\begin{array}{r} (7) & \sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} = X y \sum_{n = 1}^{\infty} y_{n} = Y . \end{array}

Demostración

Para demostrar este teorema, primero escribimos las sumas parciales ( $5$ ) como $\begin{array}{r} (8) & S_{N} = X_{N} + i Y_{N}, \end{array}$ donde $X_{N} = \sum_{n = 1}^{N} x_{n} y Y_{N} = \sum_{n = 1}^{N} y_{n} .$ Ahora el enunciado ( $6$ ) es verdadero si y sólo si $\begin{array}{r} (9) & lim_{N \to \infty} S_{N} = S; \end{array}$ y, en vista de la relación ( $8$ ) y el Teorema 1, el límite ( $9$ ) existe si y sólo si $\begin{array}{r} (10) & lim_{N \to \infty} X_{N} = X y lim_{N \to \infty} Y_{N} = Y . \end{array}$ Por lo tanto, los límites ( $10$ ) implican ( $6$ ), y viceversa. Dado que $X_{N} = X$ y $Y_{N} = Y$ son sumas parciales de las series ( $7$ ), el teorema queda demostrado. $◼$

Este teorema es de bastante utilidad para demostrar un número de propiedades familiares de cursos de cálculo que también se cumplen con números complejos.

Propiedad 1: Si una serie de números complejos converge, el $n$ -ésimo término converge a cero cuando $n$ tiende a infinito.

De la Propiedad 1 se sigue que los términos de una serie convergente están acotados. Esto es, cuando la serie (

4

) converge, existe una constante positiva

M

tal que

| z_{n} | \leq M para cada entero positivo n .

Otra propiedad importante de series de números complejos que proviene de los cursos de cálculo es la siguiente.

Propiedad 2: La convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de esa serie.

Recordemos que la serie ( $4$ ) es absolutamente convergente si la serie $\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} | z_{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}} (z_{n} = x_{n} + i y_{n}) \end{array}$ de números reales $\sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}$ converge.

Para establecer el hecho de que la suma de una serie es un número $S,$ es conveniente definir el residuo $ρ_{N}$ después de $N$ términos, usando las sumas parciales: $\begin{array}{r} ρ_{N} = S - S_{N} \end{array}$ De esta forma $S = S_{N} + ρ_{N} .$ Ahora, dado que $| S_{N} - S | = | ρ_{N} - 0 |,$ entonces una serie converge a un número $S$ si y sólo si la sucesión de residuos tiende a cero.

Ejemplo: Con la ayuda de los residuos, es fácil verificar que $\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z} whenever | z | < 1 \end{array}$ Para esto necesitamos recordad la identidad $1 + z + z^{2} + \dots + z^{n} = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$ para escribir las sumas parciales

\begin{array}{r} (11) & S_{N} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{N - 1} (z \neq 1) \end{array}

como

S_{N} (z) = \frac{1 - z^{N}}{1 - z} .

S (z) = \frac{1}{1 - z}

entonces

ρ_{N} (z) = S (z) - S_{N} (z) = \frac{z^{N}}{1 - z} (z \neq 1) .

De esta forma

| ρ_{N} | = \frac{| z |^{N}}{| 1 - z |} \to 0 only when | z | < 1.

En este caso, es claro que los residuos

ρ_{N}

tienden a cero cuando

| z | < 1

pero no cuando

| z | \geq 1.

Exploración geométrica de la serie geométrica

La serie introducida en el ejemplo anterior $\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z} siempre que | z | < 1 \end{array}$ es conocida como la serie geométrica.

Usa el siguiente applet para explorar esta serie. Arrastra el punto $z$ alrededor. Observa lo que pasa cuando está adentro, afuera o en la frontera del círculo unitario. Arrastra el control deslizante para mostrar la suma parcial.

Code

Puedes usar el siguiente script en GeoGebra para explorar tú mismo y hacer tu propia versión. El símbolo # indica comentarios.

#Número complejo
Z = 0.72 + ί * 0.61

#Círculo de radio 1
c = Circle((0,0), 1)

#Número de términos de la serie parcial 
n = Slider(0, 250, 1, 1, 150, false, true, false, false)
SetValue(n, 250)

#Define la sucesión z^n
S = Join({0 + ί * 0, 1 + ί * 0}, Sequence(Z^j, j, 1, n))

#Define la suma parcial
SP = Sequence(Sum(S, j), j, 1, n + 2)

#Finalmente une los puntos de la suma parcial con segmentos
L = Sequence(Segment(Element(SP, j), Element(SP, j + 1)), j, 1, n + 1)