Series de Taylor

Para funciones reales

Sea $a\in \mathbb R$ y $f(x)$ una función infinitamente diferenciable en un intervalo $I$ que contenga al número $a.$ Entonces la serie de Taylor unidimensional de $f$ alrededor de $a$ está dada por

\[ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots \]

la cual se puede re-escribir en su forma compacta:

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n. \]

Recordemos que, en análisis real, la serie de Taylor nos da una aproximación de una función $k$-veces diferenciable alrededor de un punto dado por un polinomio de Taylor de orden $k.$

Por ejemplo, la mejor aproximación lineal de $f(x)$ es $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$ Esta aproximación se acerca a $f(x)$ con una línea que pasa por $x=a$ la cual concuerda con la pendiente de $f$ en $a.$

Para obtener una mejor aproximación podemos agregar otros términos en la expansión. Por ejemplo, la mejor aproximación cuadrática es $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac12 f''(a)(x-a)^2.$$

El siguiente applet muestra las sumas parciales de la serie de Taylor para una función dada. Arrastra el control deslizante para mostrar más términos de la serie. Arrastra el punto a o cambia la función.

Versión para funciones complejas

Supongamos que una función $f$ es analítica en un disco $|z -z_0|< R,$ con centro en $z_0$ y radio $R.$ Entonces $f (z)$ tiene una representación en series de potencias \begin{eqnarray}\label{seriefunction} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n,\quad |z-z_0|<R, \end{eqnarray} donde \begin{eqnarray} a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!},\quad n=0,1,2,\ldots \end{eqnarray} Esto es, la serie (\ref{seriefunction}) converge a $f (z)$ cuando $z$ se encuentra dentro del disco $|z -z_0|< R_0.$

Cada serie de potencias (\ref{seriefunction}) tiene un radio de convergencia. Análogo al concepto de intervalo de convergencia para las series de potencias de variable real, una serie de potencias complejas (\ref{seriefunction}) tiene un círculo de convergencia, el cual es el círculo con centro en $z_0$ de mayor radio $R \gt 0$ para el cual (\ref{seriefunction}) converge en cada punto dentro del círculo $|z-z_0|=R.$ Una serie de potencias converge absolutamente en todos los puntos $z$ dentro de su círculo de convergencia, es decir, para toda $z$ tal que $|z - z_0| \lt R,$ y diverge en todos los puntos $z$ exteriores al círculo, esto es, para toda $z$ tal que $|z-z_0| \gt R.$ El radio de convergencia puede ser:

$R = 0$ (en cuyo caso (\ref{seriefunction}) converge solo en su centro $z = z_0$),
$R$ un número finito positivo (en cuyo caso (\ref{seriefunction}) converge en todo el interior del círculo $|z - z_0| = R),$ o
$R = \infty$ (en cuyo caso (\ref{seriefunction}) converge para todo $z$).

El radio de convergencia se puede calcular usando el criterio del cociente. Por ejemplo, si:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L\neq 0,$ el radio de convergencia es $R=\dfrac{1}{L}$;
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= 0,$ el radio de convergencia es $R=\infty$;
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \infty,$ el radio de convergencia es $R=0.$

Exploración Dinámica

En el lado izquierdo del applet a continuación, se muestra un retrato de fase de una función compleja.

En el lado derecho, puedes ver la aproximación de la función a través de sus polinomios de Taylor en el punto base azul $z_0.$ Se pueden modificar la función compleja, el punto base $z_0,$ el orden del polinomio (deslizador vertical) y el zoom (deslizador horizontal).

f(z) =

También puedes seleccionar una función de la siguiente lista:

Series de Maclaurin

Una serie de Taylor con centro en $z_0=0$ \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n \] se le conoce por el nombre de serie de Maclaurin.

Algunas series de Maclaurin importantes son:

\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{1-z}&=& \sum_{n=0}^{\infty} z^n, \quad |z|\lt 1; \\ \displaystyle e^z &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, \quad |z|\lt \infty;\\ \displaystyle \text{sen}\, z &=& \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad |z|\lt \infty;\\ \displaystyle \cos z &=& \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}, \quad |z|\lt \infty;\\ \displaystyle \text{senh}\, z &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad |z|\lt \infty;\\ \displaystyle \cosh z &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}, \quad |z|\lt \infty; \end{eqnarray*}

Ejercicio: Encuentra la serie de Maclaurin de la función \[ f(z)=\frac{z}{z^4+9} \] y calcula su radio de convergencia.

Nota: Este applet fue scrito originalmente por Aaron Montag usandoCindyJS. El código fuente se encuentra en GitHub.