Series de Laurent

Recordemos que una función $f$ de variable compleja $z$ es analítica en un punto $z_0$ si tiene una derivada en cada punto dentro de una vecindad de $z_0.$ Una función entera aquella que es analítica en cada punto del plano complejo. Si una función $f$ no es analítica en un punto $z_0$ pero es analítica en cada vecindad de $z_0,$ entonces $z_0$ se llama punto singular, o singularidad, de $f.$

Suponiendo que $f(z)$ es analítica en la región $0\lt|z-z_0|\lt R$ y no en el punto $z_0$ (o cualquier rama de $f$ si esta es multivaluada). Entonces el punto $z_0$ se denomina singularidad aislada de $f(z).$

Ahora, recordemos que cada función que es analítica en un disco $|z -z_0|\lt R_0$ debe tener una representación de Taylor alrededor $z_0.$ Si la función falla ser analítica en un punto $z_0,$ frecuentemente se puede encontrar una representación en series para $f(z)$ la cual involucra potencias positivas y negativas de $z - z_0.$ Formalmente hablando tenemos el siguiente resultado:

Supongamos que una función $f$ es analítica en una región anular $R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2,$ con centro en $z_0,$ y sea $C$ cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor de $z_0$ y contenido en la región anular mencionada. Entonces, en cada punto del dominio, $f (z)$ tiene la representación en series \begin{eqnarray}\label{laurentfunction} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-z_0)^n}, \end{eqnarray} donde \begin{eqnarray}\label{non-principalpart} a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1}},\quad n=0,1,2,\ldots \end{eqnarray} y \begin{eqnarray}\label{principalpart} b_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{-n+1}},\quad n=1,2,\ldots \end{eqnarray}

Annulus — $f(z)$ es analítica en la región anular $R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2.$

Como un ejemplo simple de (\ref{laurentfunction}) consideremos la función \[ f(z) = \frac{1}{z-1}. \] Como puedes apreciar, el punto $z = 1$ es una singularidad aislada de $f$ y consecuentemente la función no se puede expandir en una serie de Taylor alrededor de ese punto. Sin embargo, $f$ se puede expandir en una serie de la forma dada en (\ref{laurentfunction}) la cual es válida para todo $z$ cercano a $1:$

\begin{eqnarray}\label{simple-example} f(z) = \cdots + 0 \cdot (z-1)^2 + 0 \cdot (z-1) + 0 + \frac{1}{(z-1)} + \frac{0}{(z-1)^2} + \cdots \end{eqnarray}

Esta representación en series es válida para $0 \lt |z - 1| \lt \infty.$

La serie en el lado derecho de (\ref{laurentfunction}) tiene nombres específicos. La parte que consiste de las potencias no negativas de $z - z_0,$ \begin{eqnarray}\label{analytic-part} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray} se denomina como la parte analítica de la serie (\ref{laurentfunction}) y converge para $|z - z_0| \lt R_2.$ La parte de potencias negativas de $z - z_0,$ es decir, \begin{eqnarray}\label{principal-part} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-z_0)^n} \end{eqnarray} se denomina como la parte principal de la serie (\ref{laurentfunction}) y converge para

$$\abs{\frac{1}{z-z_0}}\lt \frac{1}{R_1} \quad \text{o equivalentemente }\quad R_1 \lt \abs{z-z_0}.$$

Por lo tanto, la suma de (\ref{analytic-part}) y (\ref{principal-part}) converge cuando $z$ satisface ambas desigualdades $R_1 \lt \abs{z-z_0}$ y $\abs{z-z_0}\lt R_2,$ esto es, cuando $z$ es un punto en un dominio anular definido por $R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2.$

La parte principal de la serie (\ref{simple-example}) consiste de exactamente un término diferente de cero, mientras que su parte analítica consiste de todos los términos iguales a cero. El siguiente ejemplo ilustra el caso de una serie de la forma (\ref{laurentfunction}) en la cual la parte principal consiste de un número infinito de términos, pero esta vez la parte analítica consiste de un número infinito de términos distintos de cero.

Ejemplo 1: La función $f(z) = \dfrac{\sin z}{z^4}$ no es analítica en la singularidad aislada $z = 0 $ y por lo tanto no se puede representar como una serie de Maclaurin. Sin embargo, $\sin z$ es una función entera, y sabemos que la serie de Maclaurin,

$$\sin z = z - \frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \frac{z^9}{9!}- \cdots,$$

converge para $|z|\lt \infty.$ Al dividir esta serie de potencias por $z^4$ obtenemos una serie para $f$ con potencias positivas y negativas de $z:$

\begin{eqnarray}\label{example-1} f(z) = \dfrac{\sin z}{z^4} = \overbrace{\frac{1}{z^3} - \frac{1}{3!z} }^{\large \textbf{Parte principal}} \underbrace{+ \frac{z}{5!} - \frac{z^3}{7!} + \frac{z^5}{9!}- \cdots}_{\large \textbf{Parte analítica}} \end{eqnarray}

La parte analítica de la serie en (\ref{example-1}) converge para $|z|\lt \infty.$ (¡Verifícalo!) La parte principal es válida para $|z|>0.$ De esta forma la expresión en (\ref{example-1}) converge para todo $z$ excepto en $z=0;$ es decir, la representación en series es válida para $0 \lt |z| \lt \infty.$

En práctica, las fórmulas integrales (\ref{non-principalpart}) y (\ref{principalpart}) del Teorema 1 no ofrecen un método práctico para calcular los coeficientes $a_n$ and $b_n$ para una función dada $f(z)$; en su lugar, se construyen las piezas de las series de Laurent series al combinar expansiones de Taylor conocidas, como hicimos en el Ejemplo 1. Dado que la expansión de series de Laurent de una función es única cuando esta existe, cualquier expresión de esta forma que sea igual a la función dada $f(z)$ en una región anular debe ser en realidad la expansión de Laurent de $f(z).$

Ejemplo 2: Consideremos la función $$f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}$$ la cual tiene singulares aisladas en $z=0$ y $z=\pm i.$ En este caso, existe una serie de Laurent para el dominio $0\lt |z|\lt 1$ y también para el dominio $1\lt |z|\lt \infty,$ el cual es exterior al círculo $|z|=1.$ Para encontrar cada serie de Laurent, recordemos la serie de Maclaurin $$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|\lt 1.$$ Para el dominio $0\lt |z|\lt 1,$ tenemos \begin{eqnarray*} f(z)&=&\frac{1}{z}\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-z^2\right)^n \\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n-1}\\ &=&\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nz^{2n-1} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}z^{2n+1}+\frac{1}{z}. \end{eqnarray*} Por otra parte, cuando $1\lt |z|\lt \infty,$ \begin{eqnarray*} f(z)&=&\frac{1}{z^3}\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}=\frac{1}{z^3}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{z^2} \right)^n\\ & =&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^{2n+3}}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{z^{2n+1}} \end{eqnarray*} En esta última parte usamos el hecho de que $(-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}(-1)^2=(-1)^{n+1}.$

Ejercicio: Expande $f(z)=e^{3/z}$ en una serie de Laurent válida para $0\lt |z| \lt \infty.$