Integrales de Funciones con Cortes de Ramas

Cuando consideramos funciones de múltiples valores, el camino en la integral de contorno puede contener un punto en una rama de corte de integrando involucrado. Los siguientes ejemplos ilustran esto.

Ejemplo 1

Sea $C$ el camino semicircular desde $z_0=3$ a $z_1=-3.$ Esto es $z\left(\theta\right) = 3 e^{i\theta}$, con $0\leq \theta \leq \pi.$ Aquí nos gustaría evaluar la integral \begin{eqnarray}\label{ex-01} I = \int_C z^{1/2} dz. \end{eqnarray} Para hacer esto, necesitamos elegir una rama en particular de la función multi-valuada $z^{1/2}.$ Por ejemplo, usaremos la rama principal \begin{eqnarray} |z|> 0, \; -\pi \lt \textbf{Arg}\,(z)\lt \pi. \end{eqnarray}

En este caso, notemos que a pesar de que la rama principal de $z^{1/2}= \exp\left(\frac{1}{2}\text{Log}\, z\right)$ no está definida al final del punto $z_1=-3$ del contorno $C$, la integral $I$ todavía existe.

Usa el siguiente applet para explorar el valor de $I$ para el contorno dado $C.$ Mueve los puntos $z_0$ y $z_1$ a los valores correspondientes. También puedes selecciona otros contornos y explorar lo que sucede cuando cruzan el corte de rama $\{z\,:\, x \leq 0 \text{ y } y = 0\}.$

Como ya habrás notado, la integral (\ref{ex-01}) existe porque el integrando es continuo por piezas en $C.$ Para confirmar esto, observa que cuando $z(\theta)= 3e^{i\theta}$, entonces $$ f\left(z(\theta)\right)= \exp\left[\frac{1}{2}\left( \ln 3 + i \theta\right)\right] = \sqrt{3}e^{i\theta/2}. $$

Los límites del lado izquierdo de las componente real e imaginaria de la función

\begin{eqnarray*} f\left(z(\theta)\right)z'(\theta) &=& \sqrt{3} e^{i\theta/2} \cdot 3ie^{i\theta } \\ &=& 3 \sqrt{3} i \,e^{i3\theta/2} \\ &=& -3\sqrt{3} \sin \frac{3\theta }{2} + i\, 3\sqrt{3} \cos \frac{3\theta }{2} \quad (0\leq \theta \lt \pi)\\ \end{eqnarray*}

en $\theta = \pi $ existen. Esto es

\begin{eqnarray*} \lim_{\theta \rightarrow \pi-}-3\sqrt{3} \sin \frac{3\theta }{2}= 3\sqrt{3} \quad \text{ and } \quad \lim_{\theta \rightarrow \pi-} 3\sqrt{3} \cos \frac{3\theta }{2} = 0.\\ \end{eqnarray*}

Lo cual significa que $f\left(z(\theta)\right)z'(\theta)$ es continua en el intervalo cerrado $0 \leq \theta \leq \pi$ cuando su valor en $\theta = \pi $ está definido como $3\sqrt{3}.$ Por lo tanto

\begin{eqnarray*} I &=& \int_C f\left(z(\theta)\right)z'(\theta)\, d\theta= 3\sqrt{3} i \int_0^{\pi} e^{i\theta /2} d\theta = 3\sqrt{3} i\Bigg[ \bigg.\frac{2}{3i}e^{i3\theta /2}\bigg|_{0}^{\pi} \Bigg] \\ &=& 3\sqrt{3} i\Bigg[ -\frac{2}{3i}\left( 1+i\right)\Bigg]= -2\sqrt{3}(1+i). \end{eqnarray*}

Ejercicio 1: Evalúa la integral $\int_C z^{1/2}\, dz$ para el contorno $C: z(\theta)= e^{i\theta}$, con $-\pi\leq \theta \leq \pi.$ Puedes usar el applet para confirma tus resultados.

Observación: Nota que $\int_C z^{1/2}\, dz=0$ para cada círculo que no intersecte a la rama de corte $\{z\,:\, x \leq 0 \text{ y } y = 0\}.$ ¿Por qué?

Ejemplo 2

Considera la rama principal

\begin{eqnarray}\label{br} f(z)=z^{i} = \exp \left[ i \,\text{Log } z \right]\; \text{ con }\; |z|>0,\, -\pi\lt \text{Arg } z \lt \pi \end{eqnarray}

y $C$ el círculo superior desde $z=-1$ a $z=1$; es decir, $z(t)=-e^{-i \pi t}$ con $0 \leq t \leq 1.$

Upper half circle — $C: z(t)=-e^{-i \pi t}$ para $0 \leq t \leq 1.$

No es difícil verificar que \begin{eqnarray}\label{ex-02} I=\int_C z^{i}\,dz &=& \frac{1+e^{-\pi}}{2}\,(1-i). \end{eqnarray} Usa el siguiente applet para confirmar esto. También puedes analizar $\int_C z^idz$ para otros contornos.

Observación: Nota que $\int_C z^{i}\, dz=0$ para cada círculo que no intersecte al corte de rama $\{z\,:\, x \leq 0, y = 0\}.$ ¿Por qué?

En general, podemos calcular $\int_C z^i dz$ para cualquier contorno $C$ desde $z=-1$ a $z=1$ que se encuentra arriba del eje real. En este caso solo necesitamos encontrar una antiderivada (o primitiva) de $z^i.$ Desafortunadamente, no podemos usar la rama principal, definida en (\ref{br}), dado que en esta rama no está definida la función en $z=-1.$ Pero el integrando se puede reemplazar con la rama

$$z^{i} = \exp \left[ i \,\text{log } z \right]\; \text{ with }\; |z|>0,\, -\frac{\pi}{2}\lt \text{arg } z \lt \frac{3\pi}{2}.$$

dado que esta corresponde con el integrando a lo largo de $C.$

Smooth curve and Tangent vector — Rama principal.

Usando una antiderivada de esta nueva rama, obtenemos

\begin{eqnarray}\label{value} \int_{-1}^{1} z^i dz&=& \Bigg.\frac{z^{i+1}}{i+1}\Bigg|_{-1}^{1} = \frac{1+e^{-\pi}}{2}\,(1-i), \end{eqnarray}

cuyo valor es el mismo que encontramos en (\ref{ex-02}).

Ejercicio 2: Evalúa $\bigg.\frac{z^{i+1}}{i+1}\bigg|_{-1}^{1} $ para confirmar el valor dado en la expresión (\ref{value}).