Teorema de Cauchy-Goursat
Teorema de Cauchy
En 1825, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy demostró uno de los teoremas más importantes en el análisis complejo:
Si la función no es analítica en toda la región dentro de
Demostración del Teorema 1. La demostración de
este teorema es una consecuencia inmediata
del Teorema de Green en el plano, el cual establece que, para
funciones
En el teorema de Green,
Al establecer
Aplicando el teorema de Green a cada integral, obtenemos
Ambas integrales en el lado derecho son
cero debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Observemos que, una vez establecido que el valor
de esta integral es cero,
la orientación de
Ejemplo 1:
Considera la función
Teorema de Cauchy-Goursat
En 1900, el matemático francés
Edouard Goursat
demostró que la suposición de continuidad de
Ejemplo 2:
La función
son funciones enteras, entonces
para cualquier contorno cerrado simple
Ejemplo 3:
Podemos usar el Teorema de Cauchy-Goursat para evaluar
Retrato de fases
para mostrar
el retrato de fases mejorado de Dominios simplemente y múltiples conexos
Decimos que un dominio

En otras palabras, un dominio simplemente conexo no tiene "agujeros".
Todo el plano complejo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo;
el anillo definido por
Un dominio que no es simplemente conexo se llama
un dominio multiplemente conexo; es decir,
un dominio multiplemente conexo tiene "agujeros". Por
ejemplo, observa en la Figura 5 que si la curva

El contorno cerrado en el Teorema de Cauchy-Goursat no necesita ser simple cuando el teorema se adapta a dominios simplemente conexos. Es decir, el contorno puede cruzarse a sí mismo. El siguiente teorema permite esta posibilidad.
La demostración es sencilla si
Ejemplo 4:
Sea
Si
Ahora, supongamos también que
Como se indica en la Figura 10, se pueden formar dos contornos cerrados simples
El siguiente teorema resume el resultado general para un
dominio multiconectado con
-
es un contorno cerrado simple, descrito en la dirección antihoraria; -
son contornos cerrados simples interiores a , todos descritos en la dirección horaria, que son disjuntos y cuyos interiores no tienen puntos en común.
Si
El siguiente corolario es conocido como el principio de deformación de contornos, ya que nos
dice que si

Ejemplo 5:
Podemos usar el corolario anterior para demostrar que
Consideremos
Sabemos que (ver ejemplo 2 en la sección de
Integración Compleja)

Ejercicio 1:
Utiliza el principio de deformación de contornos para demostrar que
si
Notas históricas y demostración
Cauchy comunicó por primera vez el teorema sobre la integral a la Académie des Sciences en 1814, como parte de un memorando relacionado con otros temas (integrales reales impropias) [1 pp. 132-133, 4, 13 pp. 56-57]. La primera forma general del teorema fue comunicada a la Académie en 1825 en un memorando titulado Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires [1 pp. 151-156, 5, 13 pp. 89-91].
Goursat presentó una demostración del Teorema de Cauchy en 1884 para el caso de una
curva cerrada simple, dividiendo el interior en pequeños cuadrados,
mostrando que la integral alrededor de cada cuadrado de
lado
para cada
En 1900, Eliakim H. Moore refinó la demostración, abordando el tratamiento de la curva de contorno con mayor precisión [11]. También introdujo el enfoque moderno de la prueba por contradicción, que consiste en subdividir el dominio, seleccionar la región donde la conclusión se contradice de manera más significativa, y luego aplicar la definición de la derivada en el punto límite resultante [9, p. 651].
Más tarde, en 1901, Alfred Pringsheim presentó una crítica del tratamiento de Goursat sobre la curva de contorno [12]. Observó que estos problemas desaparecen cuando la técnica de la prueba se aplica a una forma geométrica básica, como un triángulo. Desde ahí, el teorema se extiende a caminos poligonales simples dentro de un dominio simplemente conexo mediante la triangulación del interior del camino. Finalmente, se puede generalizar a caminos arbitrarios aproximándolos con caminos poligonales. [9, p. 651]. Este es el método que utilizaremos para demostrar el Teorema de Cauchy-Goursat.
Para evitar repeticiones innecesarias a lo largo de la siguiente discusión,
daremos por sentado que estamos trabajando en un dominio simplemente conexo
Usando la desigualdad triangular, tenemos
Dado que las cuatro cantidades del lado derecho de la desigualdad anterior
son números reales no negativos, y como consecuencia, una de ellas
debe ser mayor o igual a las otras tres.
Denotemos el contorno triangular de la integral
con el mayor módulo por el símbolo
Ahora repetimos el proceso anterior para el triángulo
Combinamos esta última desigualdad con (
Continuamos de esta manera para obtener una secuencia
de contornos triangulares "anidados"
Dado que la secuencia de contornos triangulares
Podemos resolver (
Dado que
Ahora, sea
Para cualquier
Al combinar (
Ejercicio 2:
Usa el Lema 1 y el hecho de que cualquier contorno
poligonal cerrado
Observación:
Aproximadamente, "triangulado" significa que el polígono cerrado
Ahora, el Teorema de Cauchy-Goursat puede demostrarse fácilmente usando
la Lemma 2 y el hecho de que cualquier contorno cerrado

Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat.
Consideremos un contorno cerrado simple
El Teorema de Cauchy-Goursat ha sido establecido a través de varios métodos. Por ejemplo, se han construido demostraciones específicamente para rectángulos o discos (ver [3, 10]). Más allá de estos enfoques, se han desarrollado muchas otras demostraciones del teorema. Cabe destacar que John D. Dixon presentó una demostración concisa y elegante que depende únicamente de los conceptos fundamentales de la teoría de funciones complejas en conjuntos convexos [6]. Por otro lado, Rudolf Výborný ofreció una demostración basada en homotopía diferenciable [14].
Referencias
- Bottazzini, U. (1984). The higher calculus: a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass. New York : Springer-Verlag.
- Borger, R. L. (1921). On the Cauchy-Goursat theorem, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 27, No. 7, pp. 325-329.
- Brown, J. W., Churchill, R. V. (2009). Complex Variables and Applications. 8th Edition. New York: McGraw-Hill Higher Education.
- Cauchy, A. (1814). Mémoire sur la théorie des intégrales définies,
in Œuvres complètes d'Augustin Cauchy,
série, vol. I, Gauthier Villars, Paris. - Cauchy, A. (1825). Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites
imaginaires,
in Œuvres complètes d'Augustin Cauchy,
série, vol. XV, Gauthier Villars, Paris. - Dixon, J. D. (1971). A brief proof of Cauchy's integral theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 29, No. 3, pp. 625-626.
- Goursat, E. (1884). Démonstration du théorème de Cauchy. Acta Mathematica, 4, pp. 197-200.
- Goursat, E. (1900). Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 1, No. 1, pp. 14-16.
- Hance-Olsen, H. (2008). On Goursat's Proof of Cauchy's Integral Theorem, The American Mathematical Monthly, 115, pp. 648-652.
- Marsden, J. E. & Hoffman, M. J. (1999) Basic Complex Analysis. (3rd ed.) New York: W. H. Freeman and Co.
- Moore, E. H. (1900). A Simple Proof of the Fundamental Cauchy-Goursat Theorem, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 1, No. 4, pp. 499-506.
- Pringsheim, A. (1901). Ueber den Goursat'schen Beweis des Cauchy'schen Integralsatzes, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 2, No. 4, pp. 413-421.
- Smithies, F. (1997). Cauchy and the Creation of Complex Function Theory. UK: Cambridge University Press.
- Výborný, R. (1979). On the Use of a Differentiable Homotopy in the Proof of the Cauchy Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5, pp. 380-382.